Identite remarquable a² - b²
Niveau
3eme
Sous-categorie
calcul-litteral
Programme officiel
Cycle 4 - Nombres et calculs
Prerequis
Definition
L'identite remarquable a² - b² = (a - b)(a + b) permet de factoriser une difference de deux carres en un produit de deux facteurs conjugues.
A retenir
- •La formule marche dans LES DEUX SENS : factoriser et developper
- •Les facteurs (a - b) et (a + b) s'appellent conjugues
- •ATTENTION : a² + b² ne se factorise PAS
- •Reconnaitre les carres parfaits : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...
Comment factoriser x² - 1 ?
Formule
a, b = cotes de l'angle droit
c = hypotenuse (face a l'angle droit)
Variante pour chercher c :
Exemple resolu pas a pas
ENONCE (style brevet)
Factoriser A = x² - 49
SOLUTION
On reconnait une difference de carres
x² est le carre de x (a = x)
49 = 7² est le carre de 7 (b = 7)
On applique a² - b² = (a - b)(a + b)
Comment factoriser 4x² - 25 ?
Pieges classiques au brevet
Piege 1
Confondre (a - b)² et a² - b²
(x - 3)² = x² - 9
(a - b)² = a² - 2ab + b², pas a² - b²
(x - 3)² = x² - 6x + 9
Piege 2
Croire que a² + b² = (a + b)²
x² + 9 = (x + 3)²
(a + b)² = a² + 2ab + b² ≠ a² + b²
x² + 9 ne se factorise pas. (x + 3)² = x² + 6x + 9
Piege 3
Oublier que c'est une DIFFERENCE de carres
x² + 4 = (x + 2)(x - 2)
a² + b² ne se factorise pas avec cette identite
x² + 4 ne peut pas etre factorise dans R
Piege 4
Ne pas voir les carres caches
4x² - 9 : je ne vois pas les carres
4x² = (2x)², 9y⁴ = (3y²)²
4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x - 3)(2x + 3)
Comment utiliser a² - b² ?
Quand utiliser cette methode ?
Quand on voit une difference de carres parfaits ou un produit de conjugues.
Reconnaitre les carres
Le premier terme est-il un carre ? Le second aussi ?
Identifier a et b
Si c'est x² - 16, alors a = x et b = 4 (car 16 = 4²).
Appliquer la formule
Pour factoriser : a² - b² = (a - b)(a + b). Pour developper : le contraire.
Verifier
Developper le resultat pour confirmer.
Quand est-il tombe au brevet ?
Notion INCONTOURNABLE au brevet !
| Annee | Session | Exercice | Points | |
|---|---|---|---|---|
| 2024 | Metropole | Ex. 2 | 6 pts | Voir |
| 2023 | Polynesie | Ex. 2 | 8 pts | Voir |
| 2022 | Metropole | Ex. 2 | 6 pts | Voir |
