Équations produit
Niveau
3eme
Sous-categorie
equations
Programme officiel
Cycle 4 - Nombres et calculs
Prerequis
Definition
Une équation produit est une équation de la forme A × B = 0. Elle se resout en appliquant la propriété : 'un produit est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul'.
A retenir
- •Un produit est nul ssi au moins un facteur est nul
- •On factorise d'abord, puis on resout chaque facteur = 0
- •Une équation produit a souvent 2 solutions (une par facteur)
- •Il faut que le membre de droite soit ZERO
Formule
a, b = cotes de l'angle droit
c = hypotenuse (face a l'angle droit)
Exemple resolu pas a pas
ENONCE (style brevet)
Résoudre (x - 3)(x + 5) = 0
SOLUTION
C'est une équation produit : A × B = 0 avec A = (x - 3) et B = (x + 5)
Un produit est nul ssi au moins un facteur est nul
Soit x - 3 = 0, donc x = 3
Soit x + 5 = 0, donc x = -5
Peut-on résoudre (x + 1)(x - 2) = 5 comme équation produit ?
Pieges classiques au brevet
Piege 1
Diviser par un facteur contenant x
x(x - 2) = 0 → x - 2 = 0 (on a divise par x et perdu x = 0)
On ne divise JAMAIS par une expression contenant x (on perdrait des solutions)
x(x - 2) = 0 → x = 0 ou x - 2 = 0, donc S = {0 ; 2}
Piege 2
Oublier de mettre a zero
(x - 1)(x + 2) = 6 → x = 1 ou x = -2
L'équation doit être sous forme A × B = 0
(x - 1)(x + 2) = 6 → Développer et résoudre autrement
Piege 3
Oublier une solution
(2x + 1)(x - 3) = 0 → x = 3 (oubli de 2x + 1 = 0)
Chaque facteur donne une solution potentielle
2x + 1 = 0 donne x = -1/2, et x - 3 = 0 donne x = 3
Piege 4
Confondre 'et' et 'ou'
x = 3 ET x = -5 simultanement
C'est OU (au moins un facteur nul), pas ET (les deux nuls)
x = 3 OU x = -5, donc S = {-5 ; 3}
Comment résoudre une équation produit ?
Quand utiliser cette methode ?
Quand l'équation est sous forme A × B = 0 ou peut y être mise.
Mettre sous forme A × B = 0
Si besoin, factoriser l'expression ou tout mettre d'un côté.
Appliquer la propriété
A × B = 0 equivaut a A = 0 OU B = 0.
Résoudre chaque équation
Résoudre A = 0, puis B = 0.
Conclure avec l'ensemble des solutions
S = {solution1 ; solution2}.
Quand est-il tombe au brevet ?
Notion frequente au brevet
