Decomposition en facteurs premiers
Niveau
3eme
Sous-categorie
arithmetique
Programme officiel
Cycle 4 - Nombres et calculs
Prerequis
Definition
Decomposer un entier en facteurs premiers, c'est l'ecrire comme un produit de nombres premiers. Cette ecriture est unique (a l'ordre pres).
A retenir
- •Chaque entier > 1 a une decomposition UNIQUE en facteurs premiers
- •On divise successivement par les nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11...
- •La decomposition sert a trouver le PGCD et le PPCM
- •On ecrit le resultat avec des puissances : 72 = 2³ × 3²
Quelle est la decomposition de 28 ?
Formule
a, b = cotes de l'angle droit
c = hypotenuse (face a l'angle droit)
Exemple resolu pas a pas
ENONCE (style brevet)
Decomposer 360 en produit de facteurs premiers.
SOLUTION
360 ÷ 2 = 180 (360 est pair)
180 ÷ 2 = 90 (180 est pair)
90 ÷ 2 = 45 (90 est pair)
45 ÷ 3 = 15 (45 impair, mais 4+5=9 divisible par 3)
15 ÷ 3 = 5 (1+5=6 divisible par 3)
5 ÷ 5 = 1 (5 est premier)
On s'arrete quand on obtient 1
Quelle est la decomposition de 90 ?
Pieges classiques au brevet
Piege 1
Oublier d'utiliser les puissances
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
Ecrire 2 × 2 × 2 n'est pas faux mais 2³ est la forme attendue
72 = 2³ × 3²
Piege 2
S'arreter avant d'atteindre 1
45 = 3 × 15 (on s'arrete la)
On continue jusqu'a ce que le quotient soit 1
45 = 3 × 3 × 5 = 3² × 5
Piege 3
Diviser par un nombre non premier
36 = 4 × 9
On ne divise que par des PREMIERS : 2, 3, 5, 7, 11...
36 = 2² × 3²
Piege 4
Confondre PGCD et PPCM
PGCD(12, 18) = 2² × 3² = 36
PGCD : facteurs communs, exposants minimaux. PPCM : tous les facteurs, exposants maximaux
PGCD(12, 18) = 2 × 3 = 6. PPCM(12, 18) = 2² × 3² = 36
Comment decomposer en facteurs premiers ?
Quand utiliser cette methode ?
Pour simplifier des fractions, trouver PGCD/PPCM, ou demontrer des proprietes.
Tester la divisibilite par 2
Si le nombre est pair, divise par 2 autant de fois que possible.
Tester la divisibilite par 3
Somme des chiffres divisible par 3 ? Divise par 3.
Continuer avec 5, 7, 11...
Passe aux nombres premiers suivants.
S'arreter quand le quotient vaut 1
La decomposition est complete.
Ecrire avec des puissances
Regrouper les facteurs identiques.
Quand est-il tombe au brevet ?
Notion INCONTOURNABLE au brevet !
| Annee | Session | Exercice | Points | |
|---|---|---|---|---|
| 2024 | Metropole | Ex. 1 | 8 pts | Voir |
| 2023 | Metropole | Ex. 1 | 6 pts | Voir |
| 2022 | Asie | Ex. 2 | 8 pts | Voir |
