Nombres premiers
Niveau
3eme
Sous-categorie
arithmetique
Programme officiel
Cycle 4 - Nombres et calculs
Prerequis
Definition
Un nombre premier est un entier supérieur ou égal a 2 qui n'a exactement que deux diviseurs : 1 et lui-même.
A retenir
- •1 n'est PAS premier (il n'a qu'un seul diviseur)
- •2 est le SEUL nombre premier pair
- •Les 10 premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
- •Pour tester si n est premier, on divise par tous les premiers jusqu'à √n
Exemple resolu pas a pas
ENONCE (style brevet)
Le nombre 91 est-il premier ?
SOLUTION
On teste les diviseurs premiers jusqu'à √91 ≈ 9,5
On teste 2 : 91 est impair → non divisible par 2
On teste 3 : 9+1=10, pas divisible par 3 → non divisible par 3
On teste 5 : 91 ne finit pas par 0 ou 5 → non divisible par 5
On teste 7 : 91 ÷ 7 = 13 exactement → divisible par 7 !
Le nombre 51 est-il premier ?
Pieges classiques au brevet
Piege 1
Croire que 1 est premier
Les premiers commencent par 1, 2, 3...
1 n'a qu'un seul diviseur (lui-même), il faut en avoir exactement 2
Les premiers commencent par 2, 3, 5, 7...
Piege 2
Croire que tous les nombres impairs sont premiers
9 est premier car il est impair
9 = 3×3, 15 = 3×5, 21 = 3×7... sont impairs mais pas premiers
9 = 3² n'est pas premier
Piege 3
Oublier de tester 7 pour les nombres proches de 100
91 est premier (on a teste 2, 3, 5)
91 = 7×13, 77 = 7×11, 49 = 7² sont des pièges courants
91 = 7 × 13 n'est pas premier
Piege 4
S'arrétér trop tot dans les tests
Pour 97, on teste 2, 3, 5 puis on conclut
Il faut tester tous les premiers jusqu'à √n
Pour 97, on teste 2, 3, 5, 7 (car √97 ≈ 9,8)
Comment vérifier si un nombre est premier ?
Quand utiliser cette methode ?
Quand l'énoncé demande si un nombre est premier ou pour decomposer.
Calculer √n
On n'a besoin de tester que les diviseurs jusqu'à √n.
Tester les nombres premiers successifs
2, 3, 5, 7, 11, 13... jusqu'à √n.
Utiliser les critères de divisibilite
Pour 2, 3, 5... les critères accelerent les tests.
Conclure
Si aucun ne divise n → n est premier. Sinon, donner la decomposition.
Quand est-il tombe au brevet ?
Notion frequente au brevet
