Théorème de Pythagore
Niveau
3eme
Sous-categorie
triangles
Programme officiel
Cycle 4 - Espace et géométrie
Prerequis
Definition
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
A retenir
- •c est TOUJOURS l'hypoténuse (le côté face à l'angle droit)
- •On peut chercher n'importe quel côté en isolant la variable
- •La réciproque permet de vérifier si un triangle est rectangle
Formule
a, b = cotes de l'angle droit
c = hypotenuse (face a l'angle droit)
Variante pour chercher c :
Dans un triangle rectangle en A, quelle formule est correcte ?
Exemple resolu pas a pas
ENONCE (style brevet)
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC.
SOLUTION
Le triangle ABC est rectangle en A, donc BC est l'hypoténuse (cote opposé à l'angle droit).
D'apres le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
BC = √25 = 5
Dans un triangle rectangle, AB = 6 cm et AC = 8 cm (angle droit en A). Combien fait BC ?
Pieges classiques au brevet
Piege 1
Oublier que c est l'hypoténuse (cote face à l'angle droit)
Écrire AB² = AC² + BC² alors que l'angle droit est en B
Toujours identifier d'abord l'angle droit et le côté qui lui fait face.
Si angle droit en B, alors AC² = AB² + BC² (AC est l'hypoténuse)
Piege 2
Oublier la racine carrée à la fin
BC² = 25 donc BC = 25 cm
BC² = 25 donc BC = √25 = 5 (pas BC = 25 !)
BC² = 25 donc BC = √25 = 5 cm
Piege 3
Utiliser la réciproque sans prendre le bon cote
Vérifier si 5² = 3² + 13² (utilisér 5 comme hypoténuse)
Le plus grand côté DOIT être l'hypoténuse supposée.
Vérifier si 13² = 5² + 12² (utilisér 13, le plus grand)
Piege 4
Confondre théorème et réciproque
Dire qu'un triangle est rectangle parce qu'il a un angle de 90°
Théorème : triangle rectangle → relation. Réciproque : relation → triangle rectangle.
La réciproque sert a PROUVER qu'un triangle est rectangle via les longueurs
Comment utilisér le théorème de Pythagore ?
Quand utiliser cette methode ?
Quand l'énoncé parle d'un triangle rectangle et demande de calculer un côté, ou vérifier si un triangle est rectangle.
Identifier le triangle rectangle
Repère l'angle droit (symbolisé par un petit carré dans la figure). Le côté en face est l'hypoténuse (le plus grand côté).
Écrire la formule
Nomme les côtés a, b, c avec c = hypoténuse. Écris : a² + b² = c²
Remplacer par les valeurs connues
Substitue les valeurs données. Il ne doit rester qu'une seule inconnue.
Calculer et conclure
Résous l'équation. N'oublie pas la racine carrée si tu cherches un côté, pas son carré !
Variante : L'énoncé donne 3 côtés et demande si le triangle est rectangle.
- Identifier le plus grand côté (c = hypoténuse supposée)
- Calculer c² d'un côté
- Calculer a² + b² de l'autre
- Si égal → rectangle, sinon → pas rectangle
