Puissances et racines carrées
Niveau
3eme
Sous-categorie
puissances
Programme officiel
Cycle 4 - Nombres et calculs
Prerequis
Definition
Une puissance a^n signifie 'a multiplie par lui-même n fois'. La racine carrée de x, notee sqrt(x), est le nombre positif qui, élève au carré, donne x.
A retenir
- •a^0 = 1 (pour tout a ≠ 0)
- •a^(-n) = 1 / a^n (puissance négative = inverse)
- •10^n = 1 suivi de n zeros (10^3 = 1000)
- •sqrt(a×b) = sqrt(a) × sqrt(b) mais sqrt(a+b) ≠ sqrt(a) + sqrt(b) !
Formule
a, b = cotes de l'angle droit
c = hypotenuse (face a l'angle droit)
Variante pour chercher c :
Simplifier 10^4 × 10^(-2) :
Exemple resolu pas a pas
ENONCE (style brevet)
Simplifier l'expression : (2^3 × 2^5) / 2^4
SOLUTION
Au numérateur : 2^3 × 2^5 = 2^(3+5) = 2^8
Division : 2^8 / 2^4 = 2^(8-4) = 2^4
Résultat : 2^4 = 16
sqrt(50) simplifie = ?
Pieges classiques au brevet
Piege 1
Additionner les bases au lieu des exposants
2^3 × 2^4 = 4^7 (FAUX)
Dans a^n × a^m, on ADDITIONNE les exposants, pas les bases !
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 128
Piege 2
Croire que sqrt(a+b) = sqrt(a) + sqrt(b)
sqrt(9 + 16) = sqrt(9) + sqrt(16) = 3 + 4 = 7 (FAUX)
La racine carrée n'est PAS distributive sur l'addition !
sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5 (pas 7 !)
Piege 3
Oublier que (-2)^2 = 4 et -2^2 = -4
-3^2 = 9
Les parentheses changent tout ! (-2)^2 : on élève -2 au carré. -2^2 : on élève 2 au carré puis on met le signe moins.
-3^2 = -(3^2) = -9 mais (-3)^2 = 9
Piege 4
Écrire 10^(-3) = -1000
10^(-2) = -100
10^(-3) = 1/10^3 = 1/1000 = 0,001 (positif !)
10^(-2) = 1/100 = 0,01
Comment calculer avec puissances et racines ?
Quand utiliser cette methode ?
Quand on voit des exposants, des racines, ou la notation scientifique.
Règles des puissances
a^m × a^n = a^(m+n), a^m / a^n = a^(m-n), (a^m)^n = a^(m×n)
Puissances négatives
a^(-n) = 1/a^n. Exemple : 2^(-3) = 1/8
Simplifier une racine
Decomposer sous forme a × b avec b = carré parfait. sqrt(ab) = sqrt(a) × sqrt(b)
Notation scientifique
a × 10^n avec 1 ≤ a < 10. Exemple : 3500 = 3,5 × 10^3
Quand est-il tombe au brevet ?
Notion INCONTOURNABLE au brevet !
| Annee | Session | Exercice | Points | |
|---|---|---|---|---|
| 2024 | Metropole | Ex. 1 | 8 pts | Voir |
| 2023 | Metropole | Ex. 2 | 6 pts | Voir |
| 2022 | Centres etrangers | Ex. 1 | 8 pts | Voir |
| 2021 | Polynesie | Ex. 3 | 10 pts | Voir |
