Théorème de Thales
Niveau
3eme
Sous-categorie
triangles
Programme officiel
Cycle 4 - Espace et géométrie
Prerequis
Definition
Le théorème de Thales etablit une relation de proportionnalite entre les longueurs de segments formes par deux droites parallèles coupant deux secantes. En clair : des droites parallèles decoupent des segments proportionnels.
A retenir
- •Les droites DOIVENT être parallèles pour appliquer Thales
- •On écrit TOUJOURS 3 rapports égaux partant du même sommet
- •La réciproque permet de PROUVER que deux droites sont parallèles
- •Attention au sens de lecture : AM/AB et pas AB/AM selon le contexte
Formule
a, b = cotes de l'angle droit
c = hypotenuse (face a l'angle droit)
Variante pour chercher c :
Dans un triangle ABC avec (MN) // (BC), la bonne égalité est :
Exemple resolu pas a pas
ENONCE (style brevet)
Dans le triangle ABC, M est un point de [AB] et N est un point de [AC]. On sait que (MN) est parallèle a (BC), avec AM = 4 cm, AB = 10 cm et BC = 15 cm. Calculer MN.
SOLUTION
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles, donc on peut appliquer le théorème de Thales.
D'apres le théorème de Thales dans le triangle ABC : AM/AB = AN/AC = MN/BC
On connait AM = 4, AB = 10, BC = 15. On cherche MN.
On utilisé : AM/AB = MN/BC
4/10 = MN/15
MN = (4 × 15) / 10 = 60/10 = 6
Si AM/AB = 2/5 et BC = 10 cm, combien vaut MN ?
Pieges classiques au brevet
Piege 1
Appliquer Thales sans vérifier le parallelisme
Dire directement AM/AB = AN/AC sans justifier
TOUJOURS écrire 'Les droites (MN) et (BC) sont parallèles donc d'apres le théorème de Thales...'
Comme (MN) // (BC), d'apres le théorème de Thales : AM/AB = AN/AC = MN/BC
Piege 2
Melanger les rapports (numérateur/dénominateur inverses)
Écrire AM/AB = AC/AN (inversion au dénominateur)
Toujours partir du MEME sommet (ex: A). Les longueurs partent de A dans les 3 rapports.
AM/AB = AN/AC (les deux partent de A vers le côté complet)
Piege 3
Confondre AB (le segment entier) et MB (une partie)
Écrire AM/MB au lieu de AM/AB quand l'énoncé donne AB
AB = AM + MB. Attention a bien lire l'énoncé !
Si AM = 3 et MB = 2, alors AB = 5. Le rapport est AM/AB = 3/5
Piege 4
Oublier la condition d'alignement pour la réciproque
Conclure au parallelisme juste parce que les rapports sont égaux
Pour la réciproque, il faut AUSSI que A, M, B soient alignes ET A, N, C soient alignes.
Les rapports sont égaux ET les points sont alignes dans le bon ordre, donc (MN) // (BC)
Comment utilisér le théorème de Thales ?
Quand utiliser cette methode ?
Quand l'énoncé mentionne des droites parallèles et demande une longueur, ou quand on doit prouver un parallelisme.
Identifier la configuration de Thales
Repère deux droites secantes et une droite parallèle a un côté. Nomme les points clairement.
Écrire les 3 rapports egaux
Pars du sommet commun (ex: A). Écris AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Utiliser le produit en croix
Isole l'inconnue avec a/b = c/d donc a×d = b×c.
Conclure proprement
Donne la valeur avec l'unite. Si c'est la réciproque, conclus sur le parallelisme.
Variante : L'énoncé donne des longueurs et demande de prouver un parallelisme.
- Calculer le rapport AM/AB
- Calculer le rapport AN/AC
- Comparer les deux rapports
- Si égaux ET points alignes correctement → droites parallèles
