Systemes d'equations
Niveau
3eme
Sous-categorie
systemes
Programme officiel
Cycle 4 - Nombres et calculs
Prerequis
Definition
Un systeme d'equations est un ensemble de deux equations (ou plus) avec deux inconnues (x et y). Resoudre le systeme, c'est trouver le couple (x, y) qui verifie les DEUX equations en meme temps.
A retenir
- •Methode par SUBSTITUTION : on isole une variable puis on remplace
- •Methode par COMBINAISON (addition) : on elimine une variable en combinant les equations
- •La solution est un COUPLE (x, y), pas juste x !
- •Graphiquement, c'est le point d'intersection de deux droites
Un systeme de 2 equations a 2 inconnues a generalement :
Formule
a, b = cotes de l'angle droit
c = hypotenuse (face a l'angle droit)
Quelle methode utiliser si y = 3x est une des equations ?
Exemple resolu pas a pas
ENONCE (style brevet)
Resoudre le systeme : { 2x + y = 8 et { x - y = 1 (methode par combinaison)
SOLUTION
On additionne les deux equations pour eliminer y :
(2x + y) + (x - y) = 8 + 1
2x + y + x - y = 9, donc 3x = 9
x = 3
On remplace x = 3 dans la 2e equation : 3 - y = 1
y = 3 - 1 = 2
VERIFICATION : Equation 1 : 2(3) + 2 = 6 + 2 = 8 ✓ | Equation 2 : 3 - 2 = 1 ✓
{ x + y = 5 et { x - y = 1. Que vaut x ?
Pieges classiques au brevet
Piege 1
Donner seulement x sans y
La solution est x = 3
La reponse est TOUJOURS un couple (x, y) !
La solution est (x = 3 ; y = 2) ou S = {(3, 2)}
Piege 2
Oublier de multiplier TOUTE l'equation
Multiplier 2x + 3y = 7 par 2 : 4x + 3y = 7 (faux)
Quand on multiplie une equation par un nombre, on multiplie TOUS les termes.
Multiplier par 2 : 4x + 6y = 14 (tous les termes !)
Piege 3
Se tromper de signe en combinant
(3x + 2y) - (x + 2y) = 3x + 2y - x + 2y = 2x + 4y (faux)
Attention quand on soustrait : changer les signes de TOUTE la 2e equation.
(3x + 2y) - (x + 2y) = 3x + 2y - x - 2y = 2x
Piege 4
Oublier de verifier les DEUX equations
Verifier seulement la premiere equation
Une bonne solution verifie les DEUX equations, pas une seule !
Remplacer (x, y) dans les DEUX equations et verifier que les egalites sont vraies
Comment resoudre un systeme d'equations ?
Quand utiliser cette methode ?
Quand on a deux contraintes sur deux inconnues, deux personnes avec deux informations, etc.
Choisir la methode
Substitution si une variable est isolee. Combinaison sinon.
Eliminer une variable
Par remplacement (substitution) ou par addition/soustraction (combinaison).
Resoudre l'equation a une inconnue
On obtient la valeur de la premiere variable.
Trouver la deuxieme variable
Remplacer dans une des equations initiales.
Verifier dans les DEUX equations
Le couple (x, y) doit satisfaire les deux egalites.
Quand est-il tombe au brevet ?
Notion frequente au brevet
| Annee | Session | Exercice | Points | |
|---|---|---|---|---|
| 2024 | Centres etrangers | Ex. 3 | 12 pts | Voir |
| 2023 | Metropole | Ex. 4 | 10 pts | Voir |
| 2021 | Metropole | Ex. 5 | 8 pts | Voir |
| 2019 | Polynesie | Ex. 3 | 10 pts | Voir |
