PGCD et fractions irréductibles
Niveau
3eme
Sous-categorie
arithmetique
Programme officiel
Cycle 4 - Nombres et calculs
Prerequis
Definition
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres est le plus grand nombre qui divise les deux à la fois. On l'utilisé pour simplifier les fractions au maximum (forme irréductible).
A retenir
- •Diviseur commun : nombre qui divise les deux (ex: 6 divise 12 et 18)
- •PGCD = le PLUS GRAND des diviseurs communs
- •Fraction irréductible : numérateur et dénominateur n'ont aucun diviseur commun (sauf 1)
- •Méthode d'Euclide : divisions successives jusqu'à reste 0
Formule
a, b = cotes de l'angle droit
c = hypotenuse (face a l'angle droit)
Variante pour chercher c :
La fraction 15/35 en forme irréductible est :
Exemple resolu pas a pas
ENONCE (style brevet)
Trouver le PGCD de 48 et 18, puis simplifier la fraction 48/18.
SOLUTION
Méthode d'Euclide : on fait des divisions euclidiennes successives.
48 = 18 × 2 + 12 (reste 12)
18 = 12 × 1 + 6 (reste 6)
12 = 6 × 2 + 0 (reste 0 : STOP !)
Le dernier reste non nul est 6, donc PGCD(48, 18) = 6
Simplification : 48/18 = (48÷6) / (18÷6) = 8/3
8/12 est-elle irréductible ?
Pieges classiques au brevet
Piege 1
Confondre PGCD et PPCM
PGCD(12, 18) = 36 (c'est le PPCM !)
PGCD = Plus Grand Commun Diviseur. PPCM = Plus Petit Commun Multiple.
PGCD(12, 18) = 6 (le plus grand qui divise les deux)
Piege 2
Arrétér l'algorithme d'Euclide trop tot
48 = 18 × 2 + 12, donc PGCD = 12 (non, on continue)
On continue jusqu'à obtenir un reste de 0 !
On continue : 18 = 12 × 1 + 6, puis 12 = 6 × 2 + 0. PGCD = 6.
Piege 3
Ne pas simplifier au maximum
48/18 = 24/9 (simplifie par 2 mais pas irréductible)
Simplifier par le PGCD donne directement la forme irréductible.
48/18 = 8/3 (simplifie par 6, le PGCD)
Piege 4
Oublier que PGCD(a, 0) = a
PGCD(12, 0) = 0
Tout nombre divise 0, donc le PGCD de a et 0 est a.
PGCD(12, 0) = 12
Comment trouver le PGCD et simplifier une fraction ?
Quand utiliser cette methode ?
Simplifier une fraction, vérifier si elle est irréductible, problèmes de partage en parts egales...
Appliquer l'algorithme d'Euclide
Diviser le plus grand par le plus petit. Noter le reste.
Continuer avec diviseur et reste
Le nouveau dividende est l'ancien diviseur. Le nouveau diviseur est le reste.
S'arrétér quand reste = 0
Le dernier diviseur utilisé (reste non nul) est le PGCD.
Simplifier la fraction
Diviser numérateur et dénominateur par le PGCD.
Quand est-il tombe au brevet ?
Notion frequente au brevet
| Annee | Session | Exercice | Points | |
|---|---|---|---|---|
| 2024 | Metropole | Ex. 1 | 6 pts | Voir |
| 2022 | Centres etrangers | Ex. 2 | 8 pts | Voir |
| 2021 | Polynesie | Ex. 1 | 6 pts | Voir |
| 2019 | Metropole | Ex. 2 | 8 pts | Voir |
