Équations
Résoudre des équations du premier degré et mettre en équation un problème concret.
Introduction
Les équations sont incontournables au Brevet. Tu dois savoir résoudre une équation du premier degré, mais surtout transformer un problème en équation. C'est le cœur de l'algèbre au collège.
Points cles a retenir
- Une équation est une égalité avec une inconnue (souvent x)
- Résoudre = trouver la valeur de x qui vérifie l'égalité
- On isole x en effectuant la même opération des deux côtés
- Mise en équation : traduire un énoncé en langage mathématique
- Vérifier sa solution en remplaçant x dans l'équation d'origine
Formules essentielles
x = (c - b) / aSi A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0A/B = 0 ⟺ A = 0 et B ≠ 0Exemples resolus
Résoudre 3x + 5 = 20
3x = 20 - 5 = 15, donc x = 15/3 = 5
Résoudre (x - 2)(x + 4) = 0
Produit nul : x - 2 = 0 → x = 2, ou x + 4 = 0 → x = -4. S = {2 ; -4}
Erreurs frequentes a eviter
- ✗Oublier de changer le signe quand on passe un terme de l'autre côté
- ✗Ne pas vérifier sa solution dans l'équation de départ
- ✗Confondre résoudre une équation et calculer une expression
Types d'exercices au Brevet
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Le calcul littéral est un pilier des mathématiques au Brevet. Il permet de généraliser des propriétés numériques et de résoudre des problèmes concrets. Maîtriser ce chapitre est essentiel pour réussir les exercices d\'algèbre et de géométrie, qui représentent une part importante de l\'épreuve. C\'est la clé pour traduire un énoncé en langage mathématique.
📖 Définition
Le calcul littéral consiste à manipuler des expressions contenant des lettres (appelées variables ou inconnues) qui représentent des nombres. Ces lettres permettent de travailler avec des nombres quelconques et d\'établir des formules générales. On peut y appliquer les mêmes règles de calcul que pour les nombres.
📝 Cours détaillé
Le calcul littéral repose sur la distributivité, la factorisation et la réduction. La distributivité permet de développer un produit : k(a + b) = ka + kb. La double distributivité s\'applique pour (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Réduire une expression signifie regrouper et additionner/soustraire les termes de même nature (les termes en \'x\' ensemble, les constantes ensemble). Factoriser est l\'opération inverse du développement : elle consiste à transformer une somme en produit en identifiant un facteur commun. Les identités remarquables sont des formules de développement et de factorisation spécifiques et très utiles. Il est crucial de respecter les règles de priorité des opérations (parenthèses, puis multiplication/division, puis addition/soustraction) et les règles des signes. Une expression littérale peut être évaluée en remplaçant les lettres par des valeurs numériques données. La simplification d\'expressions avec des quotients nécessite une attention particulière aux valeurs interdites (dénominateur non nul).
📐 Formules essentielles
Distributivité simple
k × (a + b) = k × a + k × b
Pour développer une expression avec un facteur devant une parenthèse.
Double distributivité
(a + b)(c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d
Pour développer le produit de deux sommes.
Identité remarquable : Carré d\'une somme
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Pour développer ou factoriser une expression de la forme ( )².
Identité remarquable : Carré d\'une différence
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Pour développer ou factoriser une expression de la forme ( )² avec un signe moins.
Identité remarquable : Produit d\'une somme et d\'une différence
(a + b)(a - b) = a² - b²
Pour développer ou factoriser une expression qui est le produit d\'une somme et d\'une différence des mêmes termes.
✅ Exemples résolus
📌 Développer et réduire A = 3(x + 5) - 2(4 - x)
Étape 1 : Développer. A = 3×x + 3×5 - 2×4 - 2×(-x) = 3x + 15 - 8 + 2x. Étape 2 : Réduire. On regroupe les termes en x et les constantes : A = (3x + 2x) + (15 - 8) = 5x + 7.
📌 Factoriser B = 4x² - 9 en utilisant une identité remarquable.
On reconnaît la forme a² - b². En effet, 4x² = (2x)² et 9 = 3². Donc a = 2x et b = 3. En appliquant la formule (a+b)(a-b), on obtient : B = (2x + 3)(2x - 3).
📌 Calculer la valeur de C = 2y² - 3y + 1 pour y = -2.
On remplace y par -2 : C = 2×(-2)² - 3×(-2) + 1. On calcule : (-2)² = 4, donc C = 2×4 - (-6) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15.
⚠️ Pièges au Brevet
Ne pas oublier de réduire l\'expression après un développement. Une erreur classique est de mal gérer les signes, surtout avec un signe moins devant une parenthèses : -(a - b) = -a + b. Confondre développement et factorisation est aussi fréquent : développer c\'est transformer un produit en somme, factoriser c\'est l\'inverse. Enfin, appliquer de mémoire une identité remarquable sans vérifier la forme exacte de l\'expression.
🏋️ Exercices
Exercice 1
Développer et réduire D = (2x - 1)(3x + 4) - 5x(x - 2).
→ Étape 1 : Développer chaque produit. (2x-1)(3x+4) = 2x×3x + 2x×4 -1×3x -1×4 = 6x² + 8x - 3x - 4 = 6x² + 5x - 4. 5x(x-2) = 5x×x + 5x×(-2) = 5x² - 10x. Donc D = (6x² + 5x - 4) - (5x² - 10x). Étape 2 : Supprimer la parenthèse en faisant attention au signe moins : D = 6x² + 5x - 4 - 5x² + 10x. Étape 3 : Réduire : D = (6x² - 5x²) + (5x + 10x) - 4 = x² + 15x - 4.
Exercice 2
Factoriser E = 25x² - 20x + 4 et F = (x+1)² - 16.
→ Pour E : On reconnaît le début d\'un carré. 25x² = (5x)², 4 = 2², et 20x = 2×5x×2. C\'est donc le carré d\'une différence : E = (5x - 2)². Pour F : On a une différence de deux termes. (x+1)² est un carré et 16 = 4². C\'est de la forme a² - b² avec a=(x+1) et b=4. Donc F = [(x+1) + 4] × [(x+1) - 4] = (x + 5)(x - 3).
💡 Méthode
Pour réussir un exercice de calcul littéral au Brevet : 1) Lire calmement la consigne (développer, factoriser, réduire, calculer la valeur...). 2) Repérer la forme de l\'expression (somme, produit, identité remarquable potentielle). 3) Appliquer les règles étape par étape en écrivant les calculs intermédiaires. 4) Vérifier son résultat en redéveloppant une factorisation ou en testant avec une valeur numérique simple (sauf valeurs interdites). 5) Soigner la rédaction et la présentation pour éviter les erreurs de signe.
