Arithmétique
PGCD, divisibilité, fractions irréductibles, notation scientifique — Les outils des nombres.
PGCD (Algorithme d'Euclide)
Le plus grand diviseur commun
📐 Algorithme d'Euclide
Pour trouver PGCD(a, b) avec a > b :
- 1Diviser a par b → a = b × q + r
- 2Si r = 0 → PGCD = b
- 3Si r ≠ 0 → recommencer avec b et r
📝 Exercice 1 : Calculer un PGCD
Calcule PGCD(252, 168).
📝 Exercice 2 : Type Brevet (application concrète)
Un fleuriste a 120 roses et 84 tulipes. Il veut faire des bouquets identiques avec le plus grand nombre de bouquets possible, en utilisant toutes les fleurs.
Combien de bouquets peut-il faire ? Quelle est leur composition ?
⚠️ Erreurs fréquentes
- ❌ S'arrêter trop tôt (avant que le reste soit 0)
- ❌ Confondre PGCD et PPCM
Critères de divisibilité
Vérifier rapidement si un nombre divise un autre
📐 Les critères à connaître
Divisible par 2
Dernier chiffre pair (0, 2, 4, 6, 8)
Divisible par 3
Somme des chiffres divisible par 3
Divisible par 4
2 derniers chiffres divisibles par 4
Divisible par 5
Se termine par 0 ou 5
Divisible par 9
Somme des chiffres divisible par 9
Divisible par 10
Se termine par 0
📝 Exercice
2736 est-il divisible par 2 ? par 3 ? par 4 ? par 9 ?
Fraction irréductible
Simplifier au maximum
📐 Méthode
Pour rendre a/b irréductible :
- 1️⃣ Calcule PGCD(a, b)
- 2️⃣ Divise a et b par le PGCD
📝 Exercice
Rends irréductible 84/120.
💡 Lien avec le PGCD
C'est exactement pour ça qu'on apprend l'algorithme d'Euclide au Brevet !
Notation scientifique
Pour les très grands et très petits nombres
📐 Forme
a × 10ⁿ
avec 1 ≤ a < 10
📝 Exercice 1 : Petit nombre
Écris 0,00045 en notation scientifique.
📝 Exercice 2 : Grand nombre
Écris 3 720 000 en notation scientifique.
📝 Exercice 3 : Type Brevet
La distance Terre-Soleil est 1,496 × 10⁸ km. La lumière va à 3 × 10⁵ km/s.
Combien de temps met la lumière pour nous atteindre ?
⚠️ Erreur fréquente
❌ 45 × 10³ n'est PAS en notation scientifique (45 > 10)
✅ La bonne réponse : 4,5 × 10⁴
Nombres premiers
Les briques de l'arithmétique
📐 Définition
Un nombre premier n'a que 2 diviseurs : 1 et lui-même.
📋 Liste à connaître (≤ 30)
⚠️ Attention
- • 1 n'est PAS premier (1 seul diviseur)
- • 2 est le SEUL premier pair
💡 Utilité
La décomposition en facteurs premiers permet de trouver le PGCD facilement.
📝 Exercice
Décompose 180 en produit de facteurs premiers.
Mini-Quiz
3 questions rapides
1️⃣ 1 est-il un nombre premier ?
2️⃣ 3,5 × 10⁴ est en notation scientifique ?
3️⃣ 234 est divisible par 9 ? (somme des chiffres = 2+3+4 = 9)
🎯 Récap Arithmétique
PGCD (Euclide)
Divisions successives
Simplifier fractions, partage
Divisibilité
Critères par 2, 3, 4, 5, 9
Vérification rapide
Irréductible
Diviser par le PGCD
Simplifier au max
Notation scientifique
a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10)
Grands/petits nombres
Nombres premiers ≤ 30
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
1 n'est PAS premier • 2 est le seul pair
