Trigonométrie triangle rectangle : cos, sin, tan - Fiche brevet maths
La trigonométrie dans le triangle rectangle permet de calculer des longueurs ou des angles à l'aide des rapports cosinus, sinus et tangente. Ces rapports lient un angle aigu aux côtés du triangle (adjacent, opposé, hypoténuse). La fiche couvre les définitions, le cercle trigonométrique, les formules, les méthodes de calcul et les pièges à éviter.
Objectifs de la fiche
- ✓Connaître les définitions de cosinus, sinus et tangente dans un triangle rectangle.
- ✓Savoir utiliser les formules SOH CAH TOA pour mémoriser les rapports.
- ✓Calculer une longueur manquante dans un triangle rectangle à l'aide d'un angle et d'un côté.
- ✓Calculer un angle aigu dans un triangle rectangle à l'aide de deux côtés.
- ✓Utiliser la calculatrice (cos, sin, tan, cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹) correctement.
- ✓Distinguer les côtés adjacent, opposé et hypoténuse selon l'angle choisi.
- ✓Appliquer la trigonométrie à des problèmes concrets (ombre, hauteur, distance).
Notions à connaître
Triangle rectangle et vocabulaire
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse (c'est le plus long côté). Pour un angle aigu donné (noté souvent θ), on distingue : - Le côté adjacent : côté qui touche l'angle et qui n'est pas l'hypoténuse. - Le côté opposé : côté qui fait face à l'angle.
Définition du cosinus
Cosinus d'un angle aigu = (longueur du côté adjacent) / (longueur de l'hypoténuse). Formule : cos(θ) = adjacent / hypoténuse. Valeur toujours comprise entre 0 et 1 (exclu).
Définition du sinus
Sinus d'un angle aigu = (longueur du côté opposé) / (longueur de l'hypoténuse). Formule : sin(θ) = opposé / hypoténuse. Valeur toujours comprise entre 0 et 1.
Définition de la tangente
Tangente d'un angle aigu = (longueur du côté opposé) / (longueur du côté adjacent). Formule : tan(θ) = opposé / adjacent. Valeur peut être >1.
Moyen mnémotechnique SOH CAH TOA
SOH : Sin = Opposé / Hypoténuse CAH : Cos = Adjacent / Hypoténuse TOA : Tan = Opposé / Adjacent Permet de retenir les trois formules.
Calcul d'une longueur (angle et un côté connus)
Exemple : Dans un triangle rectangle, on connaît un angle aigu (30°) et un côté (adjacent = 5 cm). On veut l'hypoténuse. On utilise cos(30°) = adjacent / hypoténuse → hypoténuse = adjacent / cos(30°) = 5 / cos(30°) ≈ 5 / 0,8660 ≈ 5,77 cm. On peut aussi utiliser sin ou tan selon les données.
Calcul d'un angle (deux côtés connus)
Exemple : On connaît l'opposé (3 cm) et l'hypoténuse (5 cm). On utilise sin(θ) = opposé / hypoténuse = 3/5 = 0,6. Puis θ = arcsin(0,6) ≈ 36,87° (calculatrice : sin⁻¹). De même avec cos⁻¹ ou tan⁻¹.
Utilisation de la calculatrice
Pour calculer un angle : utiliser les touches sin⁻¹ (ou arcsin), cos⁻¹, tan⁻¹. Attention au mode degré (DEG) et non radian. Pour calculer un sinus/cosinus/tangente d'un angle, taper l'angle puis sin/cos/tan.
Relation entre cosinus et sinus
Pour un angle aigu θ : cos²(θ) + sin²(θ) = 1. Cette formule permet de calculer le sinus à partir du cosinus et inversement. Exemple : si cos(θ)=0,6, alors sin(θ)=√(1-0,36)=√0,64=0,8.
Angles remarquables (30°, 45°, 60°)
Valeurs exactes à connaître : - cos(30°)=√3/2, sin(30°)=1/2, tan(30°)=√3/3 - cos(45°)=√2/2, sin(45°)=√2/2, tan(45°)=1 - cos(60°)=1/2, sin(60°)=√3/2, tan(60°)=√3
Cours expliqué simplement
La trigonométrie dans le triangle rectangle est un outil fondamental pour relier les angles aigus aux longueurs des côtés. Dans un triangle rectangle, on nomme les côtés par rapport à un angle aigu choisi (par exemple l'angle Â). L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit. Le côté adjacent est celui qui touche l'angle choisi sans être l'hypoténuse. Le côté opposé est celui qui ne touche pas l'angle. Les trois rapports trigonométriques sont : - cosinus = adjacent / hypoténuse - sinus = opposé / hypoténuse - tangente = opposé / adjacent Pour mémoriser, on utilise SOH CAH TOA (Sinus Opposé Hypoténuse, Cosinus Adjacent Hypoténuse, Tangente Opposé Adjacent). Pour calculer une longueur, on choisit la formule qui fait intervenir le côté connu et le côté cherché. Par exemple, si on connaît un angle et l'opposé, et qu'on cherche l'hypoténuse, on utilise sin(angle) = opposé / hypoténuse, d'où hypoténuse = opposé / sin(angle). Pour calculer un angle, on utilise la réciproque : si on connaît deux côtés, on calcule le rapport correspondant (cos, sin ou tan) puis on utilise la fonction inverse (arcsin, arccos, arctan) sur la calculatrice. Attention : la calculatrice doit être en mode degré (DEG). La relation fondamentale cos²θ + sin²θ = 1 permet de passer de l'un à l'autre. Les angles remarquables (30°, 45°, 60°) donnent des valeurs exactes à connaître. Exemple concret : Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur. Elle fait un angle de 70° avec le sol. Quelle est la hauteur du point d'appui ? On a : angle au sol = 70°, hypoténuse = 5 m, on cherche l'opposé (hauteur). sin(70°) = hauteur / 5 → hauteur = 5 × sin(70°) ≈ 5 × 0,9397 ≈ 4,70 m.
Exemple corrigé
Erreurs fréquentes à éviter
- ×Confondre le côté adjacent et l'opposé : toujours se référer à l'angle choisi. Le côté adjacent touche l'angle, l'opposé est en face.
- ×Utiliser la mauvaise formule : si on connaît l'opposé et l'hypoténuse, utiliser sin (pas cos).
- ×Oublier de mettre la calculatrice en degré (DEG) : les résultats seront faux (en radian).
- ×Inverser numérateur et dénominateur : par exemple écrire cos(θ) = hypoténuse/adjacent. Retenir SOH CAH TOA.
- ×Arrondir trop tôt dans les calculs : garder les valeurs exactes ou au moins 4 décimales jusqu'à la fin.
- ×Confondre arcsin et 1/sin : arcsin donne l'angle, 1/sin est la cosécante (hors programme).
- ×Oublier que la tangente peut être >1, contrairement au sinus/cosinus toujours ≤1.
- ×Ne pas vérifier la cohérence des résultats : un angle aigu doit être entre 0° et 90°, une longueur positive.
Mini quiz brevet
7 questions1Dans un triangle rectangle, si cos(θ) = 0,8, que vaut sin(θ) ?
2Quelle est la valeur exacte de tan(45°) ?
3Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 cm, un angle aigu vaut 30°. Combien mesure le côté opposé ?
4Quel rapport trigonométrique utilise-t-on pour calculer un angle si on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse ?
5Vrai ou faux : la tangente d'un angle aigu peut être supérieure à 1.
6Donner la formule liant cosinus et sinus pour un angle aigu.
7Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle de 40° mesure 7 cm. Calculer l'hypoténuse.
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Entraîne-toi avec des exercices brevet : calculs de longueurs et angles, angles remarquables, problèmes concrets.
Parcours conseillé
Avant de commencer, révise le théorème de Pythagore et les propriétés des triangles rectangles. Après cette fiche, entraîne-toi sur des exercices variés, notamment avec des angles remarquables. Utilise la calculatrice en mode degré et vérifie toujours la cohérence de tes résultats.
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