Théorème de Thalès : fiche brevet maths 3e
Cette fiche couvre le théorème de Thalès et sa réciproque : énoncés précis, configurations (papillon et triangle), calculs de longueurs et démonstrations de parallélisme. Elle inclut des exemples type brevet et des erreurs fréquentes à éviter.
Objectifs de la fiche
- ✓Énoncer le théorème de Thalès dans une configuration de triangles emboîtés ou en papillon.
- ✓Identifier les deux configurations classiques du théorème de Thalès.
- ✓Appliquer le théorème pour calculer une longueur inconnue dans une figure.
- ✓Énoncer et utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour prouver que deux droites sont parallèles.
- ✓Vérifier les conditions d'application (points alignés, droites sécantes).
- ✓Rédiger une démonstration complète en respectant les étapes : hypothèses, égalités de rapports, conclusion.
- ✓Distinguer le théorème de Thalès de sa réciproque et choisir la bonne propriété selon la question.
Notions à connaître
Théorème de Thalès : énoncé général
Soit deux droites (d1) et (d2) sécantes en un point A. Soient B et M deux points distincts de A sur (d1), et C et N deux points distincts de A sur (d2). Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors les rapports des longueurs sont égaux : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Attention : l'ordre des points est crucial : on part toujours du point d'intersection A.
Configuration de Thalès : triangles emboîtés
Dans cette configuration, les deux triangles partagent le même sommet A et sont l'un dans l'autre. Exemple : triangle ABC avec M sur [AB] et N sur [AC], et (MN) // (BC). Alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. On utilise cette configuration quand les points sont alignés dans le même ordre (A, M, B et A, N, C).
Configuration de Thalès : papillon (ou croisée)
Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en O. Les points A, O, B sont alignés dans cet ordre (ou B, O, A) et C, O, D aussi. Si (AC) // (BD), alors OA/OB = OC/OD = AC/BD. Cette configuration ressemble à un papillon. Il faut bien repérer le point d'intersection O et les droites parallèles.
Réciproque du théorème de Thalès
Soit deux droites (d1) et (d2) sécantes en A. Soient B et M sur (d1) distincts de A, et C et N sur (d2) distincts de A. Si les points sont alignés dans le même ordre (A, M, B et A, N, C ou A, B, M et A, C, N) et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Attention : on doit vérifier l'ordre des points (même sens) et l'égalité des rapports. La réciproque sert à démontrer le parallélisme.
Conditions d'application du théorème de Thalès
Pour appliquer le théorème, il faut : 1) deux droites sécantes, 2) deux points sur chaque droite (distincts du point d'intersection), 3) les droites joignant ces points (BC et MN) sont parallèles. Dans la réciproque, on remplace la condition de parallélisme par l'égalité des rapports et l'ordre des points.
Calculs de longueurs avec le théorème de Thalès
On utilise l'égalité des trois rapports pour trouver une longueur inconnue. Exemple : on connaît AM=3, AB=5, AN=4, on cherche AC. On écrit AM/AB = AN/AC soit 3/5 = 4/AC. On résout : AC = (5×4)/3 = 20/3 ≈ 6,67 cm. On peut aussi utiliser MN/BC si on connaît MN et BC. Il faut bien identifier les segments correspondants.
Rédaction d'une démonstration type brevet
Étapes : 1) Énoncer les hypothèses : points alignés, droites sécantes, parallélisme (ou égalité de rapports pour la réciproque). 2) Écrire les égalités de rapports. 3) Calculer la longueur ou conclure sur le parallélisme. Exemple : "On sait que A, M, B sont alignés, A, N, C alignés, et (MN)//(BC). Donc d'après le théorème de Thalès, AM/AB = AN/AC = MN/BC. On a AM=..., AB=..., AN=..., donc ..."
Cas particulier : théorème de Thalès avec des longueurs exprimées en fractions
Les longueurs peuvent être données sous forme fractionnaire ou avec des inconnues. Par exemple, on cherche x tel que (x+2)/x = 5/3. On résout l'équation produit en croix : 3(x+2) = 5x → 3x+6 = 5x → 6 = 2x → x=3. Il faut maîtriser le produit en croix.
Différence entre théorème et réciproque
Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs quand on a des droites parallèles. Sa réciproque permet de prouver que deux droites sont parallèles à partir de rapports égaux. Ne pas les confondre : si on demande de montrer que (MN)//(BC), on utilise la réciproque ; si on demande de calculer MN, on utilise le théorème.
Pièges : ordre des points et alignement
Pour la réciproque, l'ordre des points doit être le même sur les deux droites (par exemple A, M, B et A, N, C). Si les points sont dans un ordre différent (A, B, M et A, C, N), on peut quand même appliquer la réciproque à condition de prendre les bons rapports (AB/AM = AC/AN). Il faut toujours vérifier que les points sont alignés et distincts.
Cours expliqué simplement
Le théorème de Thalès est un outil fondamental en géométrie pour calculer des longueurs dans des figures où des droites parallèles coupent deux droites sécantes. Imagine deux droites qui se coupent en un point A. Sur la première droite, tu places deux points B et M (avec M entre A et B ou non). Sur la deuxième, tu places C et N. Si tu traces les segments BC et MN, et qu'ils sont parallèles, alors les longueurs sont proportionnelles. Concrètement, le rapport entre la distance de A à M et celle de A à B est égal au rapport entre A à N et A à C, et aussi au rapport entre MN et BC. On écrit : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Il existe deux configurations classiques : les triangles emboîtés (quand les points sont dans le même ordre : A, M, B et A, N, C) et le papillon (quand les droites se croisent en un point O, avec A et B d'un côté, C et D de l'autre, et (AC)//(BD)). Dans le papillon, on a OA/OB = OC/OD = AC/BD. Maintenant, la réciproque du théorème de Thalès permet de faire le chemin inverse : si tu as des rapports égaux et que les points sont alignés dans le bon ordre, alors les droites sont parallèles. Par exemple, si tu sais que AM/AB = AN/AC, et que les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, et A, N, C aussi, alors (MN) est parallèle à (BC). Attention : il faut absolument vérifier l'ordre des points, sinon la réciproque ne s'applique pas. Au brevet, on te demandera souvent de calculer une longueur ou de démontrer un parallélisme. Pour calculer, tu écris l'égalité des rapports, tu remplaces par les valeurs connues, et tu résous avec un produit en croix. Pour démontrer, tu calcules les deux rapports (par exemple AM/AB et AN/AC) et tu vérifies s'ils sont égaux. Si oui, et si les points sont dans le même ordre, tu conclus que les droites sont parallèles. Un piège fréquent : confondre le théorème et sa réciproque. Souviens-toi : le théorème part du parallélisme pour trouver des longueurs ; la réciproque part de rapports égaux pour prouver le parallélisme. Un autre piège : mal identifier les segments correspondants. Par exemple, dans la configuration papillon, il faut bien repérer le point d'intersection et les bonnes paires de points. Pratique avec des exercices : trace des figures, repère les droites parallèles, écris les rapports. Plus tu t'entraînes, plus cela deviendra automatique.
Exemple corrigé
Erreurs fréquentes à éviter
- ×Confondre le théorème et sa réciproque : utiliser le théorème pour prouver un parallélisme (il faut la réciproque) ou inversement.
- ×Oublier de vérifier l'ordre des points dans la réciproque : si les points ne sont pas dans le même ordre, on ne peut pas conclure.
- ×Mal identifier les segments correspondants : par exemple, écrire AM/AB = AN/AC alors que les points sont dans l'ordre A, B, M et A, C, N (il faut alors utiliser AB/AM = AC/AN).
- ×Ne pas préciser les hypothèses dans la rédaction : il faut mentionner les alignements et le parallélisme (ou les rapports) avant d'appliquer le théorème.
- ×Erreur de calcul dans le produit en croix : par exemple, pour a/b = c/d, écrire a×d = b×c est correct, mais attention à l'ordre.
- ×Oublier que les longueurs doivent être dans la même unité : convertir si nécessaire.
- ×Appliquer le théorème de Thalès alors que les droites ne sont pas sécantes ou que les points ne sont pas alignés.
- ×Utiliser la réciproque sans vérifier que les rapports sont égaux (parfois on a une approximation, il faut vérifier l'égalité exacte).
Mini quiz brevet
7 questions1Dans la configuration de Thalès avec triangles emboîtés, si (MN)//(BC), AM=2, AB=5, AN=3, que vaut AC ?
2Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?
3Peut-on appliquer la réciproque du théorème de Thalès si les points sont alignés dans l'ordre A, B, M et A, C, N ?
4Dans la configuration papillon, les droites (AC) et (BD) sont parallèles. OA=4, OB=6, OC=5. Que vaut OD ?
5Vrai ou faux : Pour utiliser la réciproque de Thalès, il suffit que deux rapports soient égaux, sans vérifier l'alignement.
6Si AM/AB = 0,6 et AN/AC = 0,6, que peut-on dire des droites (MN) et (BC) ?
7Dans un triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC] avec (MN)//(BC). AM=4, MB=2, AN=5. Calculer NC.
💬 Tu veux que Ketty te l'explique autrement ?
Demande à Ketty de t'expliquer la réciproque du théorème de Thalès avec un exemple où on prouve que deux droites sont parallèles.
Parcours conseillé
Avant de réviser cette fiche, assure-toi de maîtriser la proportionnalité et le produit en croix. Après, entraîne-toi sur des exercices de brevet, notamment ceux qui mélangent Thalès et Pythagore. Conseil : dessine toujours la figure et repère les droites parallèles avant d'écrire les rapports.
Continuer mes révisions
Compare plusieurs fiches, fais des quiz, demande à Ketty.
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