Puissances et racines carrées : règles, écriture scientifique

Notions à connaître

Cours expliqué simplement

## Puissances Une puissance est une notation simplifiée pour une multiplication répétée. Par exemple, 5^4 signifie 5 × 5 × 5 × 5 = 625. Le nombre 5 est la base, 4 est l'exposant. Si l'exposant est négatif, on prend l'inverse : 5^{-2} = 1/5^2 = 1/25. Si l'exposant est nul, le résultat vaut 1 (pour toute base non nulle). Les règles de calcul sont essentielles : - Pour multiplier deux puissances de même base, on additionne les exposants. - Pour diviser, on soustrait. - Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. - Pour un produit ou un quotient de deux nombres élevés à la même puissance, on distribue l'exposant. Les puissances de 10 sont très utilisées en sciences pour écrire de grands ou petits nombres. L'écriture scientifique impose un coefficient entre 1 et 10, multiplié par une puissance de 10. Cela facilite les comparaisons et les calculs. ## Racines carrées La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a. Elle est notée √a. Par exemple, √25 = 5 car 5×5=25. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans l'ensemble des réels. Propriétés fondamentales : - √(a×b) = √a × √b - √(a/b) = √a / √b (b ≠ 0) - √(a^2) = |a| Pour simplifier une racine, on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine. Par exemple, √72 = √(36×2) = √36 × √2 = 6√2. L'addition de racines n'est possible que si elles ont le même radicande. Par exemple, 2√7 + 3√7 = 5√7, mais √2 + √3 ne se simplifie pas. En brevet, les exercices combinent souvent puissances et racines, par exemple pour simplifier des expressions ou calculer des distances en géométrie.