Géométrie espace volumes sections fiche brevet maths
Maîtrisez les formules de volumes des solides usuels (pavé droit, cylindre, pyramide, cône de révolution, sphère) et les sections planes de ces solides. Apprenez à calculer des volumes, à déterminer des sections et à appliquer le théorème de Thalès dans l'espace.
Objectifs de la fiche
- ✓Connaître les formules de volume du pavé droit, cylindre, pyramide, cône et sphère.
- ✓Savoir calculer le volume d'un solide composé.
- ✓Déterminer la nature et les dimensions d'une section plane d'un solide.
- ✓Utiliser le théorème de Thalès dans des problèmes de section (cône, pyramide).
- ✓Calculer des aires latérales et totales de solides simples.
- ✓Appliquer les conversions d'unités de volume (m³, L, cm³).
Notions à connaître
Volume du pavé droit
Formule : V = L × l × h (longueur × largeur × hauteur). Exemple : pavé de 5 cm, 3 cm, 2 cm → V = 5×3×2 = 30 cm³.
Volume du cylindre droit
Formule : V = π × r² × h (r = rayon de la base, h = hauteur). Exemple : r = 3 cm, h = 7 cm → V = π × 9 × 7 = 63π cm³ ≈ 197,92 cm³.
Volume de la pyramide
Formule : V = (1/3) × Aire de la base × hauteur. Base carrée de côté 4 cm, hauteur 9 cm → Aire base = 16 cm² → V = (1/3)×16×9 = 48 cm³.
Volume du cône de révolution
Formule : V = (1/3) × π × r² × h. Exemple : r = 2 cm, h = 6 cm → V = (1/3)×π×4×6 = 8π cm³ ≈ 25,13 cm³.
Volume de la sphère
Formule : V = (4/3) × π × r³. Exemple : r = 3 cm → V = (4/3)×π×27 = 36π cm³ ≈ 113,10 cm³.
Section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face
La section est un rectangle identique à la face parallèle. Exemple : plan parallèle à la face avant → section rectangulaire de mêmes dimensions que cette face.
Section d'un cylindre par un plan parallèle à l'axe
La section est un rectangle de largeur 2r (diamètre) et de hauteur h. Exemple : cylindre de rayon 3 cm, hauteur 10 cm → section rectangulaire de 6 cm × 10 cm.
Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base
La section est une réduction de la base. Les rapports de longueurs sont égaux au rapport de réduction k = distance du sommet au plan / hauteur totale. Aire section = k² × Aire base.
Section d'un cône par un plan parallèle à la base
La section est un disque de rayon r' = k × r, avec k = distance du sommet au plan / hauteur. Aire section = k² × π r².
Section d'une sphère par un plan
La section est un disque. Si le plan est à distance d du centre (d ≤ R), le rayon du disque est √(R² - d²). Exemple : sphère de rayon 5 cm, plan à 3 cm du centre → rayon section = √(25-9)=4 cm.
Cours expliqué simplement
La géométrie dans l'espace au brevet porte sur le calcul de volumes de solides usuels et l'étude de sections planes. Formules de volumes à connaître par cœur : - Pavé droit : V = L × l × h - Cylindre droit : V = π × r² × h - Pyramide : V = (1/3) × Aire de la base × hauteur - Cône de révolution : V = (1/3) × π × r² × h - Sphère : V = (4/3) × π × r³ Unités : 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³ ; 1 m³ = 1000 L. Sections planes : - Un plan parallèle à une face d'un pavé donne un rectangle identique. - Un plan parallèle à l'axe d'un cylindre donne un rectangle (largeur = 2r, hauteur = h). - Un plan parallèle à la base d'une pyramide ou d'un cône donne une figure réduite (homothétie de centre le sommet). Le coefficient de réduction k = distance du sommet au plan / hauteur totale. Les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², les volumes par k³. - Un plan coupant une sphère donne un disque de rayon √(R² - d²) où d est la distance du centre au plan. Pour les solides composés, on calcule le volume total en additionnant ou soustrayant les volumes des solides élémentaires.
Exemple corrigé
Erreurs fréquentes à éviter
- ×Oublier le facteur 1/3 pour pyramide et cône. Correction : V = (1/3) × Aire de base × hauteur.
- ×Confondre rayon et diamètre. Toujours utiliser le rayon dans les formules.
- ×Ne pas convertir les unités (ex : cm en m). Convertir toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer.
- ×Pour une section, utiliser la proportionnalité des aires sans mettre au carré. Aire section = k² × Aire base.
- ×Pour une section de sphère, utiliser d comme distance au centre, pas comme distance au bord.
- ×Oublier que le volume d'une réduction est multiplié par k³.
- ×Confondre volume et capacité : 1 L = 1 dm³, pas 1 m³.
- ×Utiliser la formule du cylindre pour un cône (ou inversement).
Mini quiz brevet
7 questions1Calculez le volume d'un pavé droit de dimensions 4 cm, 5 cm et 6 cm.
2Quel est le volume d'un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 10 cm ? (Donner la valeur exacte en fonction de π)
3Une pyramide à base carrée a un côté de base de 6 cm et une hauteur de 9 cm. Quel est son volume ?
4Un cône a un rayon de base de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Calculez son volume (valeur exacte en π).
5Quel est le volume d'une sphère de rayon 6 cm ? (valeur exacte en π)
6On coupe une pyramide de hauteur 15 cm par un plan parallèle à la base situé à 5 cm du sommet. Quel est le rapport de réduction k ?
7Une sphère de rayon 10 cm est coupée par un plan situé à 6 cm du centre. Quel est le rayon de la section ?
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Entraîne-toi avec des exercices corrigés sur les volumes et sections dans l'espace.
Parcours conseillé
Avant de commencer, maîtrise les aires de figures planes (carré, rectangle, disque). Après cette fiche, révise les agrandissements/réductions et le théorème de Thalès dans l'espace. Fais des exercices de brevet sur les solides composés.
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