Équations et inéquations 1er degré : fiche brevet maths
Cette fiche couvre la résolution d'équations et inéquations du premier degré à une inconnue, la mise en équation de problèmes concrets, et les erreurs fréquentes. Elle inclut des méthodes pas à pas, des exemples type brevet, et un quiz pour s'entraîner.
Objectifs de la fiche
- ✓Résoudre une équation du type ax + b = c (a ≠ 0).
- ✓Résoudre une inéquation du type ax + b ≤ c (a ≠ 0) et représenter les solutions sur une droite graduée.
- ✓Savoir changer de membre en changeant de signe.
- ✓Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul (en inéquation, inverser le sens si nombre négatif).
- ✓Mettre un problème en équation : identifier l'inconnue, traduire les données, résoudre, vérifier.
- ✓Distinguer équation et inéquation (solution = valeur(s) précise(s) vs intervalle).
- ✓Résoudre des équations avec fractions ou parenthèses (développer puis réduire).
- ✓Résoudre une inéquation et exprimer les solutions sous forme d'intervalle.
Notions à connaître
Équation du premier degré à une inconnue
Définition : Une équation du premier degré à une inconnue x est une égalité de la forme ax + b = 0 (ou ax + b = c) où a ≠ 0. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie. Méthode : 1. Si l'équation contient des parenthèses, développer. 2. Si elle contient des fractions, multiplier tous les termes par le dénominateur commun pour les éliminer. 3. Regrouper les termes en x dans un membre, les constantes dans l'autre, en changeant le signe des termes déplacés. 4. Réduire chaque membre. 5. Diviser par le coefficient de x (non nul). Exemple : 2x + 3 = 7 → 2x = 7 - 3 → 2x = 4 → x = 2.
Propriétés de base pour résoudre une équation
Propriété 1 : On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres de l'égalité sans la modifier. Propriété 2 : On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul sans modifier l'égalité. Ces propriétés permettent d'isoler l'inconnue. Attention : si on multiplie par 0, l'égalité devient 0=0 (vraie mais on perd l'info).
Inéquation du premier degré
Définition : Une inéquation du premier degré à une inconnue x est une inégalité ( < , ≤ , > , ≥ ) de la forme ax + b < 0 (ou ax + b ≤ c). Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'inégalité vraie. Méthode : On applique les mêmes règles que pour une équation, sauf pour la multiplication ou division par un nombre négatif : on change le sens de l'inégalité. Exemple : -2x + 3 > 7 → -2x > 4 → x < -2 (car division par -2 négatif). Représentation des solutions : sur une droite graduée, on hachure la zone des solutions. Pour < ou >, on utilise un cercle vide ; pour ≤ ou ≥, un cercle plein.
Changement de sens dans une inéquation
Règle fondamentale : Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre négatif, le sens de l'inégalité est inversé. Exemple : -3x ≤ 6 → x ≥ -2 (division par -3, ≤ devient ≥). Erreur fréquente : oublier d'inverser le sens. Si on multiplie/divise par un nombre positif, le sens ne change pas.
Mise en équation d'un problème
Étapes : 1. Lire attentivement l'énoncé. 2. Choisir l'inconnue (souvent notée x). 3. Traduire les données de l'énoncé en une équation ou inéquation. 4. Résoudre l'équation/inéquation. 5. Vérifier que la solution est cohérente avec le problème (par exemple, une longueur positive). 6. Répondre par une phrase. Exemple : "Un père a 30 ans de plus que son fils. Dans 5 ans, l'âge du père sera le double de celui du fils. Quel âge a le fils ?" Soit x l'âge du fils. Alors père = x + 30. Dans 5 ans : (x+30)+5 = 2(x+5) → x+35 = 2x+10 → 35-10 = 2x-x → x = 25. Le fils a 25 ans (vérification : père 55, dans 5 ans 60 et 30, 60=2×30).
Équations avec fractions
Pour éliminer les fractions, on multiplie tous les termes par le dénominateur commun. Exemple : (x/2) + (x/3) = 5 → dénominateur commun 6 → 3x + 2x = 30 → 5x = 30 → x = 6. Attention à bien multiplier chaque terme, y compris les constantes.
Équations avec parenthèses
On développe d'abord en utilisant la distributivité. Exemple : 3(x - 2) = 2(x + 1) → 3x - 6 = 2x + 2 → 3x - 2x = 2 + 6 → x = 8. Attention aux signes : -(x - 3) = -x + 3.
Solutions particulières
Certaines équations n'ont pas de solution ou une infinité. - Équation du type 0x = 5 : aucune solution (impossible). - Équation du type 0x = 0 : toutes les valeurs de x sont solutions (ensemble ℝ). Pour les inéquations : si on aboutit à 0 > 5 (faux), aucune solution ; si 0 < 5 (vrai), toutes les valeurs sont solutions.
Représentation graphique des solutions d'une inéquation
Sur une droite graduée, on place la valeur frontière. Pour x < a, on trace une demi-droite vers la gauche avec un cercle vide en a. Pour x ≤ a, cercle plein. On hachure la zone des solutions. Exemple : x > 2 → cercle vide en 2, demi-droite vers la droite. On peut aussi exprimer les solutions sous forme d'intervalle : ]-∞; a[ pour x < a, ]-∞; a] pour x ≤ a, ]a; +∞[ pour x > a, [a; +∞[ pour x ≥ a.
Vérification de la solution
Après avoir trouvé une valeur, on la réinjecte dans l'équation originale pour vérifier. Exemple : 2x + 3 = 7, solution x=2 → 2×2+3=4+3=7, OK. Pour une inéquation, on peut tester une valeur dans l'intervalle solution.
Cours expliqué simplement
Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on utilise les propriétés suivantes : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, et on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. Ces opérations conservent l'égalité. Exemple : Résoudre 3x - 5 = 7. 1. On ajoute 5 aux deux membres : 3x = 12. 2. On divise par 3 : x = 4. Vérification : 3×4 - 5 = 12 - 5 = 7, OK. Une inéquation est une inégalité. On la résout de la même manière, mais attention : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité. Exemple : Résoudre -2x + 3 ≤ 7. 1. On soustrait 3 : -2x ≤ 4. 2. On divise par -2 (négatif) : x ≥ -2. Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à -2. Sur une droite graduée, on place un cercle plein en -2 et on hachure vers la droite. Mise en équation : Pour un problème concret, on définit l'inconnue, on traduit les contraintes en équation ou inéquation, on résout, on vérifie et on répond. Exemple de problème : "Un rectangle a une largeur de 5 cm. Sa longueur est inconnue. Le périmètre est de 26 cm. Quelle est la longueur ?" Soit L la longueur. Périmètre = 2(L + 5) = 26 → L+5 = 13 → L = 8 cm. Vérification : 2×(8+5)=26. Il est essentiel de maîtriser le développement et la réduction d'expressions, ainsi que la manipulation des fractions. Les erreurs les plus fréquentes sont les erreurs de signe lors du changement de membre, l'oubli d'inverser le sens dans une inéquation, et les erreurs de calcul avec les fractions. Pour les équations avec fractions, on multiplie tous les termes par le dénominateur commun. Par exemple : (x/2) + 1 = (x/3) + 2. Dénominateur commun 6 : 3x + 6 = 2x + 12 → 3x - 2x = 12 - 6 → x = 6. Pour les équations avec parenthèses, on développe : 2(x - 3) - 3(x + 1) = 0 → 2x - 6 - 3x - 3 = 0 → -x - 9 = 0 → x = -9. Enfin, il faut savoir interpréter les solutions impossibles ou infinies. Par exemple, 2x + 3 = 2x + 5 donne 3 = 5, impossible : pas de solution. 2x + 3 = 2x + 3 donne 0 = 0, vrai pour tout x : solution = ℝ.
Exemple corrigé
Erreurs fréquentes à éviter
- ×Erreur : Oublier de changer le signe en déplaçant un terme. Ex : 2x + 3 = 7 → 2x = 7 + 3 (faux). Correction : 2x = 7 - 3.
- ×Erreur : Oublier d'inverser le sens de l'inégalité en multipliant/dividant par un nombre négatif. Ex : -3x < 6 → x < -2 (faux). Correction : x > -2.
- ×Erreur : Ne pas multiplier tous les termes par le dénominateur commun dans une équation avec fractions. Ex : x/2 + 1 = 3 → on multiplie seulement x/2 par 2 (faux). Correction : multiplier tout : x + 2 = 6.
- ×Erreur : Confondre équation et inéquation. Ex : résoudre 2x + 3 > 7 comme une équation et donner x = 2 (faux). Correction : x > 2.
- ×Erreur : Ne pas vérifier la solution dans le contexte du problème. Ex : trouver une longueur négative et l'accepter. Correction : une longueur doit être positive.
- ×Erreur : Se tromper dans le développement des parenthèses avec signe négatif. Ex : -(x - 3) = -x - 3 (faux). Correction : -x + 3.
- ×Erreur : Diviser par zéro ou par une expression qui peut être nulle. Ex : résoudre 2x = 3x en divisant par x (perte de solution x=0). Correction : 2x - 3x = 0 → -x = 0 → x = 0.
- ×Erreur : Mal interpréter la représentation graphique : cercle vide vs plein. Ex : pour x ≤ 2, mettre un cercle vide (faux). Correction : cercle plein.
Mini quiz brevet
7 questions1Résoudre l'équation 5x - 3 = 2x + 9.
2Résoudre l'inéquation 2x + 5 ≤ 3x - 1 et représenter les solutions sur une droite graduée.
3Un triangle a un périmètre de 30 cm. Deux côtés mesurent 8 cm et 12 cm. Quelle est la longueur du troisième côté ?
4Résoudre l'équation (x/3) + (x/2) = 5.
5Résoudre l'inéquation -4x + 7 > 15.
6Développer puis résoudre : 3(x - 2) = 2(x + 1) - 5.
7Un père a 35 ans, son fils a 7 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le triple de celui du fils ?
💬 Tu veux que Ketty te l'explique autrement ?
Entraîne-toi à résoudre des équations et inéquations avec des fractions et des parenthèses.
Parcours conseillé
Avant de commencer, vérifie que tu maîtrises le calcul littéral : développer, réduire, factoriser simples. Après cette fiche, entraîne-toi sur des problèmes de mise en équation et des inéquations avec intervalles. Revois les règles de signes et les fractions si nécessaire.
Continuer mes révisions
Compare plusieurs fiches, fais des quiz, demande à Ketty.
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