Translations et symetries
Niveau
3eme
Sous-categorie
transformations
Programme officiel
Cycle 4 - Espace et geometrie
Prerequis
Definition
Les transformations geometriques deplacent les figures dans le plan. La translation 'fait glisser' une figure sans la tourner. La symetrie centrale 'retourne' la figure autour d'un point. La symetrie axiale 'replie' la figure par rapport a une droite (comme un miroir).
A retenir
- •TRANSLATION : tous les points se deplacent du meme vecteur (meme direction, sens, longueur)
- •SYMETRIE CENTRALE : le centre est le milieu de chaque segment [MM']
- •SYMETRIE AXIALE : l'axe est la mediatrice de chaque segment [MM']
- •Ces transformations CONSERVENT les longueurs, les angles et les aires
Quelle transformation 'fait glisser' une figure sans la retourner ?
Formule
a, b = cotes de l'angle droit
c = hypotenuse (face a l'angle droit)
Variante pour chercher c :
A(3, 4) par symetrie de centre O(0, 0). A' = ?
Exemple resolu pas a pas
ENONCE (style brevet)
A(2, 1) est translate par le vecteur vec(u) de coordonnees (3, -2). Quelles sont les coordonnees de A' ?
SOLUTION
La translation de vecteur vec(u)(3, -2) deplace chaque point de (+3, -2).
Coordonnees de A' :
x_A' = x_A + 3 = 2 + 3 = 5
y_A' = y_A + (-2) = 1 - 2 = -1
Donc A'(5, -1)
La translation conserve-t-elle les longueurs ?
Pieges classiques au brevet
Piege 1
Confondre translation et symetrie centrale
Croire qu'une symetrie centrale est une translation
Translation = glissement (meme orientation). Symetrie centrale = demi-tour (orientation inversee).
Translation : la figure garde son orientation. Symetrie centrale : la figure est 'retournee'.
Piege 2
Se tromper dans le calcul du symetrique
B'(4, 2) symetrique de B(4, 2) par rapport a O(1, 1) est B'(1-4, 1-2) = B'(-3, -1)
Pour symetrie de centre O : M' = 2×O - M (coordonnee par coordonnee).
B' = 2×O - B = (2×1 - 4, 2×1 - 2) = (-2, 0)
Piege 3
Confondre symetrie axiale et symetrie centrale
Dire que la symetrie par rapport a l'axe des abscisses est une symetrie centrale
Axiale = miroir (par rapport a une DROITE). Centrale = demi-tour (par rapport a un POINT).
Symetrie par rapport a l'axe des abscisses : (x, y) → (x, -y). C'est une symetrie AXIALE.
Piege 4
Oublier que l'orientation change
Un triangle ABC reste ABC apres symetrie
La symetrie (axiale ou centrale) INVERSE l'orientation (sens de parcours).
Apres symetrie, ABC devient A'B'C' mais parcouru dans l'autre sens (horaire ↔ anti-horaire)
Comment appliquer une transformation ?
Quand utiliser cette methode ?
Quand on parle de deplacer une figure, de trouver un symetrique, de construire l'image d'un point.
Identifier la transformation
Translation (vecteur donne) ? Symetrie centrale (centre donne) ? Symetrie axiale (axe donne) ?
Pour une TRANSLATION
Ajouter les coordonnees du vecteur a chaque point : M' = M + vec(u)
Pour une SYMETRIE CENTRALE
Le centre est le milieu : M' = 2×O - M
Pour une SYMETRIE AXIALE
Tracer la perpendiculaire a l'axe passant par M, reporter la meme distance de l'autre cote.
Quand est-il tombe au brevet ?
Notion frequente au brevet
| Annee | Session | Exercice | Points | |
|---|---|---|---|---|
| 2024 | Polynesie | Ex. 3 | 10 pts | Voir |
| 2023 | Centres etrangers | Ex. 2 | 8 pts | Voir |
| 2021 | Metropole | Ex. 4 | 10 pts | Voir |
