10 affirmations corrigées avec explications détaillées pour maîtriser ce chapitre.
Le théorème de Pythagore s'applique uniquement aux triangles rectangles. Il établit que le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La réciproque permet de vérifier si un triangle est rectangle connaissant ses trois côtés. Ce théorème est fondamental pour calculer des longueurs en géométrie.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC²
Confondre l'hypoténuse (toujours le côté le plus long, opposé à l'angle droit) avec les autres côtés, ou appliquer le théorème à un triangle qui n'est pas rectangle.
C'est l'énoncé exact du théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, si AB² + AC² = BC², alors le triangle est rectangle en A. Ici, l'égalité est AB² + AC² = BC², donc si elle est vérifiée, le triangle serait rectangle en A (l'angle droit serait opposé au côté BC, donc en A). L'affirmation est donc vraie dans son principe, mais la formulation 'alors le triangle est rectangle en A' est correcte si l'égalité est vérifiée. Je rectifie : l'affirmation telle qu'énoncée est vraie car elle correspond à la réciproque. Je vais la corriger pour en faire une fausse : Par exemple, si on a AB² + BC² = AC², alors le triangle est rectangle en B, pas en A. Donc pour une affirmation fausse, je propose : 'Si dans un triangle ABC, on a AB² + BC² = AC², alors le triangle est rectangle en A.' C'est faux car si AB² + BC² = AC², alors le triangle est rectangle en B. Je modifie donc l'énoncé pour qu'il soit faux.
La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle est rectangle (si l'égalité de Pythagore est vérifiée). Pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle, on utilise la contraposée : si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, alors le triangle n'est pas rectangle.
Par définition, dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est aussi le plus grand côté du triangle.
On vérifie : 6² + 8² = 36 + 64 = 100 et 10² = 100. Donc 6² + 8² = 10². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (avec l'hypoténuse de 10 cm).
Le théorème de Pythagore s'applique uniquement aux triangles rectangles. Pour un triangle non rectangle, l'égalité a² + b² = c² n'est pas vérifiée.
C'est faux : l'hypoténuse est inférieure à la somme des deux autres côtés (inégalité triangulaire) mais n'est pas égale à cette somme. L'égalité de Pythagore concerne les carrés des longueurs, pas les longueurs elles-mêmes.
Dans un triangle rectangle isocèle, les deux côtés de l'angle droit ont la même longueur (disons a). Alors l'hypoténuse a pour longueur a√2 d'après le théorème de Pythagore : hypoténuse² = a² + a² = 2a², donc hypoténuse = a√2. Les côtés sont donc proportionnels à a, a, a√2, soit en divisant par a : 1, 1, √2.
C'est la formulation classique : si a est la longueur de l'hypoténuse, et b et c les longueurs des deux autres côtés, alors a² = b² + c².
On vérifie : 5² + 12² = 25 + 144 = 169 et 13² = 169. Donc 5² + 12² = 13². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (avec l'hypoténuse de 13 cm).
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