10 questions corrigées avec explications détaillées pour maîtriser ce chapitre du Brevet.
Les aires et volumes des solides de révolution (cylindre, cône, sphère) s'étudient avec des formules spécifiques. Pour le cylindre et le cône, on utilise l'aire latérale et l'aire totale (base + latérale), tandis que le volume dépend de l'aire de la base et de la hauteur. La sphère a des formules particulières pour son aire (surface) et son volume, où le rayon est la seule mesure nécessaire. Il faut bien identifier les mesures données (rayon, diamètre, hauteur) avant d'appliquer les formules.
Volume cylindre = πr²h ; Volume cône = (πr²h)/3 ; Volume sphère = (4πr³)/3 ; Aire sphère = 4πr²
Confondre la hauteur (h) et la génératrice (g) dans le cône : pour le volume on utilise h, pour l'aire latérale on utilise g. Vérifier aussi si on donne le rayon ou le diamètre (surtout pour la sphère).
πR²h
Le volume d'un cylindre se calcule en multipliant l'aire de sa base circulaire (πR²) par sa hauteur (h). On peut retenir que c'est comme l'aire d'un disque qu'on 'étire' sur la hauteur. Cette formule est fondamentale et doit être mémorisée pour le Brevet.
38 cm³
La formule du volume d'un cône est V = (1/3) × π × R² × h. Ici, R = 3 cm et h = 4 cm. Donc V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37,7 cm³, qu'on arrondit à 38 cm³. Le facteur 1/3 est essentiel : le volume d'un cône est le tiers de celui d'un cylindre de mêmes base et hauteur.
100π cm²
L'aire d'une sphère se calcule avec la formule A = 4πR². Ici, R = 5 cm, donc R² = 25 cm². Ainsi, A = 4 × π × 25 = 100π cm². Il ne faut pas confondre avec l'aire d'un disque (πR²) ou le volume de la sphère ((4/3)πR³). Pense à '4' pour l'aire de la sphère.
5 cm
On part de la formule du volume : V = πR²h. On sait que V = 150π et h = 6. Donc πR² × 6 = 150π. On simplifie par π : 6R² = 150. Ainsi, R² = 150/6 = 25. Le rayon R est donc √25 = 5 cm (on prend la racine carrée positive). C'est un bon exercice de manipulation de formule.
2πRh
Si on 'déroule' la surface latérale d'un cylindre, on obtient un rectangle. La longueur de ce rectangle est le périmètre du disque de base, soit 2πR. Sa largeur est la hauteur h du cylindre. L'aire de ce rectangle est donc Longueur × largeur = 2πR × h. L'aire totale inclut aussi les deux bases (2 × πR²).
Le cube de son rayon (R³)
Le volume d'une sphère est donné par V = (4/3)πR³. Le terme constant est (4/3)π. Donc le volume V est proportionnel à R³. Si on double le rayon (R devient 2R), le volume est multiplié par 2³ = 8. Cette notion de proportionnalité au cube est importante en géométrie dans l'espace.
1/3
Pour un même rayon R et une même hauteur h, le volume du cylindre est V_cyl = πR²h et celui du cône est V_cône = (1/3)πR²h. En faisant le rapport V_cône / V_cyl, on simplifie πR²h, il reste (1/3)/1 = 1/3. C'est un résultat classique à connaître : un cône rentre trois fois dans un cylindre de mêmes dimensions.
33%
Le volume est proportionnel à R³. Augmenter R de 10% signifie le multiplier par 1,10. Le nouveau volume est donc proportionnel à (1,10 × R)³ = 1,10³ × R³ ≈ 1,331 × R³. Le volume initial était proportionnel à R³. L'augmentation est donc d'environ 1,331 - 1 = 0,331, soit 33,1%. Une petite variation du rayon a un grand impact sur le volume.
28π cm²
L'aire totale d'un cylindre fermé est la somme de l'aire latérale (2πRh) et des aires des deux disques de base (2 × πR²). Ici, R=2 cm et h=5 cm. Aire des bases : 2 × π × 2² = 2 × π × 4 = 8π cm². Aire latérale : 2 × π × 2 × 5 = 20π cm². Aire totale : 8π + 20π = 28π cm². Il est crucial de bien identifier toutes les surfaces.
4 cm
On utilise la formule du volume du cône : V = (1/3)πR²h. On connaît V = 48π cm³ et h = 9 cm. Donc (1/3)πR² × 9 = 48π. On simplifie par π : (1/3) × R² × 9 = 48. Ce qui donne 3R² = 48 (car (1/3)×9=3). Ainsi, R² = 48/3 = 16. Le rayon R est donc √16 = 4 cm. C'est une application directe de la formule inversée.
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