Trigonométrie SOH-CAH-TOA — Entraînement Brevet 2026

Dans le célèbre acronyme SOH-CAH-TOA, le 'S' de SOH signifie Sinus = Opposé / Hypoténuse. C'est la définition fondamentale du sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle. Le côté opposé est celui qui se trouve en face de l'angle considéré, et l'hypoténuse est toujours le côté le plus long, opposé à l'angle droit. Retiens bien SOH pour ne pas te tromper !

Le côté adjacent à un angle aigu dans un triangle rectangle est celui qui forme cet angle avec l'hypoténuse. Ici, l'angle en B est formé par les côtés [BA] et [BC]. Comme [BC] est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit en A), le côté adjacent à l'angle B est donc [BA] ou [AB]. C'est le côté qui touche l'angle et qui n'est pas l'hypoténuse. Fais toujours un schéma pour visualiser.

On utilise la formule du cosinus : cos(angle) = côté adjacent / hypoténuse. Ici, cos(α) = 0,6 et hypoténuse = 10 cm. Donc côté adjacent = cos(α) × hypoténuse = 0,6 × 10 = 6 cm. C'est une application directe de la formule CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse. Il suffit de la réarranger pour trouver la longueur manquante.

Les formules de trigonométrie (sinus, cosinus, tangente) établissent précisément des relations entre les angles aigus et les rapports des longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore, lui, relie les longueurs des trois côtés entre elles, sans faire intervenir les angles. C'est pourquoi, lorsqu'on a un angle et un côté, on utilise sin, cos ou tan en choisissant la formule qui fait intervenir le côté connu et le côté cherché.

Le triangle est rectangle en F. On cherche tan(Ĝ). Pour l'angle G, il faut identifier le côté opposé et le côté adjacent. Le côté opposé à G est [EF] (car il ne touche pas G). Le côté adjacent à G est [FG] (car il forme l'angle avec l'hypoténuse). Donc tan(Ĝ) = côté opposé / côté adjacent = EF / FG = 5/12. Attention à ne pas confondre avec tan(Ê) qui serait FG/EF = 12/5.

cos(60°) = 0,5 = 1/2. Par définition, cos(angle) = côté adjacent / hypoténuse. Donc, on a côté adjacent / hypoténuse = 1/2. Cela équivaut à côté adjacent = (1/2) × hypoténuse, ou encore que l'hypoténuse est deux fois plus longue que le côté adjacent. C'est une interprétation géométrique très utile des valeurs trigonométriques des angles remarquables comme 30°, 45° et 60°.

On a sin(Î) = 0,8. Par définition, sin(angle) = côté opposé / hypoténuse. Ici, l'angle est Î. Dans le triangle rectangle en J, le côté opposé à l'angle Î est [KJ] (car il est en face de I). L'hypoténuse est [IK] = 15 cm. Donc sin(Î) = KJ / IK. Ainsi, KJ = sin(Î) × IK = 0,8 × 15 = 12 cm. La clé est de bien associer le bon côté à 'opposé'.

La définition fondamentale est : Tangente d'un angle = (longueur du côté opposé à cet angle) / (longueur du côté adjacent à cet angle). C'est le 'TOA' dans l'acronyme SOH-CAH-TOA, un moyen mnémotechnique essentiel. Contrairement au sinus et au cosinus, la tangente ne fait pas intervenir l'hypoténuse. Elle compare les deux côtés de l'angle droit par rapport à un angle aigu.

La démarche est en deux temps. D'abord, avec les longueurs connues, on calcule la valeur d'un rapport trigonométrique (sinus, cosinus ou tangente) de l'angle inconnu. Ensuite, pour trouver la mesure de l'angle à partir de cette valeur, on utilise les fonctions inverses de la calculatrice : sin⁻¹ (ou arcsin), cos⁻¹ (ou arccos) ou tan⁻¹ (ou arctan). C'est l'opération inverse de lire le cosinus d'un angle connu.

On cherche l'angle en P. Par rapport à cet angle, le côté [MN] de 7 cm est le côté opposé, et le côté [NP] de 24 cm est le côté adjacent. On utilise donc la tangente : tan(angle P) = opposé/adjacent = MN/NP = 7/24 ≈ 0,2917. Ensuite, on utilise la fonction inverse sur la calculatrice : angle P = tan⁻¹(7/24) ≈ 16,26°. Arrondi au degré près, cela donne 16°. Attention, l'angle aigu cherché est bien proche de 16°, et son complémentaire (l'angle en M) vaut environ 90-16=74°.