Transformations géométriques — Entraînement Brevet 2026

La symétrie axiale (ou réflexion) est une isometrie : elle conserve toutes les longueurs et tous les angles, donc les figures sont superposables. Cependant, contrairement a la translation et a la rotation (qui sont des déplacements), la symétrie axiale inverse l'orientation. Pour le vérifier, imagine un triangle ABC tournant dans le sens horaire : son symétrique tournera dans le sens anti-horaire. L'homothetie, elle, ne conserve pas les longueurs (sauf si le rapport est 1 ou -1).

Une translation est une transformation qui conserve les longueurs, les angles et l'alignement. C'est ce qu'on appelle une isometrie. Ici, on nous dit que A' est l'image de A par la même translation qui envoie B sur B'. Cela signifie que le quadrilatère AA'B'B est un parallélogramme (car les vecteurs AA' et BB' sont égaux). Dans un parallélogramme, les cotes opposes sont égaux, donc AB = A'B' = 5 cm. La conservation des longueurs est une propriété fondamentale des translations.

La rotation réciproque d'une rotation d'angle α (dans un sens donne) est une rotation de même centre et d'angle -α (c'est-a-dire le même angle mais dans le sens oppose). Ici, la rotation initiale est de 120° dans le sens horaire. Pour la 'défaire', il faut une rotation de 120° dans le sens anti-horaire. Mais la question demande l'angle dans le sens anti-horaire. Un angle de 240° dans le sens anti-horaire équivaut a un angle de 120° dans le sens horaire (car 240° anti-horaire + 120° horaire = 360°, un tour complet). Donc, la rotation de 240° anti-horaire ramene bien la figure a sa position initiale.

La translation réciproque est la transformation qui 'défait' la translation initiale. Si une translation de vecteur u transforme A en A', alors la translation réciproque transforme A' en A. Son vecteur est donc l'oppose du vecteur u. Mathématiquement, si u a pour coordonnées (x; y), alors le vecteur de la translation réciproque a pour coordonnées (-x; -y). Ici, avec u(3; -2), l'oppose est bien (-3; 2). Cela correspond au déplacement inverse : 3 unités vers la gauche (abscisse négative) et 2 unités vers le haut (ordonnée positive).

Dans une homothetie de rapport k, les longueurs sont multipliées par |k| (la valeur absolue de k). Ici, |k| = |-0,5| = 0,5, qui est inférieur a 1, donc il s'agit bien d'une réduction : toutes les longueurs sont divisées par 2. Le signe du rapport indique la position relative par rapport au centre. Un rapport négatif (k < 0) signifie que l'image est située de l'autre cote du centre O par rapport a l'objet. En resume, F' est deux fois plus petite que F et se trouve du cote oppose a F par rapport au point O.

Une symétrie centrale de centre O est une rotation d'angle 180°. Si on applique une rotation de 180°, puis une autre rotation de 180° autour du même centre, l'angle total est de 360°. Une rotation de 360° ramene tout point a sa position initiale. On appelle cette transformation l'identité. Autrement dit, si un point M a pour image M' par la première symétrie, alors la deuxième symétrie transforme M' en M. Le résultat est donc de ne laisser aucun point invariant ? Non, au contraire, tous les points reviennent a leur place initiale. C'est la transformation neutre.

Une propriété fondamentale de l'homothetie est qu'elle conserve l'alignement et le parallélisme. L'image d'une droite qui ne passe pas par le centre de l'homothetie est une droite parallèle a la droite initiale. En effet, si on prend deux points A et B sur la droite (d), leurs images A' et B' sont alignées avec O, A et O, B respectivement. Les triangles OAB et OA'B' sont donc en configuration de Thales, ce qui implique que (AB) // (A'B'). Si la droite passait par le centre O, alors son image serait la droite elle-meme (elle serait invariante).

La symétrie axiale (ou réflexion) est une isometrie. Une isometrie est une transformation qui conserve les longueurs. Si toutes les longueurs sont conservées, alors tous les angles sont également conserves (car les triangles sont superposables). Par conséquent, l'aire, qui dépend des longueurs des cotes et des angles, est elle aussi conservée. Le triangle A'B'C' est le symétrique de ABC, c'est un triangle superposable, donc il a exactement la même aire : 12 cm². Seules les transformations qui modifient les longueurs (comme l'homothetie avec un rapport different de 1 ou -1) modifient les aires.

Par définition, une rotation de centre O est la transformation qui, a tout point M du plan, associe le point M' tel que OM = OM' et que l'angle (OM, OM') soit égal a l'angle de rotation. Que se passe-t-il si on applique cette définition au point O lui-meme ? On aurait O' tel que OO = OO' (toujours vrai) et l'angle (OO, OO')... Mais le vecteur OO est le vecteur nul. L'angle n'est pas défini pour le centre, mais par convention, et surtout par la propriété de distance, le seul point a distance nulle de O est O lui-meme. Donc O' = O. Le centre est un point invariant (ou fixe) par la rotation. C'est une propriété importante pour construire l'image d'une figure.

C'est une propriété du programme de 3eme. La composée d'une symétrie axiale d'axe (d) et d'une translation de vecteur u parallèle a l'axe (d) est une symétrie axiale. Plus précisément, si on applique d'abord la symétrie s_(d) puis la translation t_u (avec u // (d)), alors la transformation résultante est la symétrie axiale d'axe (d'), ou (d') est la droite image de (d) par la translation de vecteur u/2. L'axe de la symétrie résultante est donc parallèle a l'axe initial. L'ordre des transformations change la position de ce nouvel axe, mais le résultat reste toujours une symétrie axiale. C'est un cas particulier de composition a connaître.