Théorème de Thales - proportionnalité dans les triangles — Entraînement Brevet 2026

Le théorème de Thales affirme que lorsque deux droites parallèles coupent deux droites secantes, elles déterminent des segments proportionnels. Concrètement, si (d) // (d'), alors on a AM/AB = AN/AC = MN/BC. C'est cette propriété de proportionnalité qui permet de calculer des longueurs inconnues. Pour retenir: pensez a 'parallèles = proportions égales'.

D'après le théorème de Thales avec (MN) // (BC), on a AM/AB = AN/AC. On connaît AM=3, AB=9 et AN=2. Donc 3/9 = 2/AC, soit 1/3 = 2/AC. En faisant le produit en croix: 1 × AC = 3 × 2, donc AC = 6 cm. Vérifiez toujours que les points sont bien alignes dans le bon ordre (A, M, B et A, N, C).

Le théorème de Thales s'applique dans la configuration dite 'en papillon' ou 'en sablier': deux droites (secantes en un point A) sont coupées par deux droites parallèles. Cela cree deux triangles emboîtés (AMN et ABC par exemple). La condition essentielle est le parallélisme. Une astuce: dessinez toujours la configuration pour identifier les points alignes et les parallèles.

Pour utiliser la réciproque du théorème de Thales, on verifie si les points sont alignes dans le bon ordre (A, M, B et A, N, C) et si les rapports AM/AB et AN/AC sont égaux. Ici, AB = AM+MB = 4+2 = 6 cm, donc AM/AB = 4/6 = 2/3. AC = AN+NC = 5+2.5 = 7.5 cm, donc AN/AC = 5/7.5 = 2/3. Les rapports sont égaux, donc (MN) // (BC). Attention: la réciproque exige que les points soient dans le même ordre.

Avec (UV) // (ST), le théorème de Thales donne: RU/RS = RV/RT. On a RU=5, RS=8, RT=12. Donc 5/8 = RV/12. Par produit en croix: 8 × RV = 5 × 12, donc 8RV = 60, et RV = 60/8 = 7.5 cm. Pensez a bien écrire les rapports avec les points dans le même ordre: ici, partant du sommet R vers S et T.

La réciproque du théorème de Thales est un outil pour démontrer que deux droites sont parallèles. Si, dans une configuration ou les points sont alignes dans le bon ordre (par exemple A, M, B et A, N, C), on a l'égalité AM/AB = AN/AC, alors on peut conclure que (MN) // (BC). C'est l'inverse du théorème direct qui, lui, part du parallélisme pour établir des égalités de rapports. Retenez: 'égalité de rapports + points alignes dans le bon ordre => parallèles'.

C'est le théorème de la droite des milieux. Si I est milieu de [AB] et J milieu de [AC], alors (IJ) // (BC) et IJ = BC/2. On peut le démontrer avec Thales: comme AI/AB = AJ/AC = 1/2, la réciproque de Thales donne (IJ) // (BC). Puis, le théorème direct donne IJ/BC = AI/AB = 1/2, donc IJ = BC/2. C'est un résultat très utile en géométrie.

Avec (DE) // (BC), on a AD/AB = DE/BC. Il faut d'abord calculer AB = AD + DB = 2 + 3 = 5 cm. Donc AD/AB = 2/5. On a donc 2/5 = DE/10. Par produit en croix: 5 × DE = 2 × 10, donc 5DE = 20, et DE = 20/5 = 4 cm. Une erreur frequente est d'utiliser AD/DB au lieu de AD/AB. Vérifiez toujours que le dénominateur correspond au cote entier du grand triangle.

La condition fondamentale pour appliquer le théorème de Thales (dans sa version directe) est l'existence de deux droites parallèles coupant deux droites secantes. C'est cette hypothèse de parallélisme qui permet de déduire l'égalité des rapports de longueurs. Sans cela, les rapports ne sont pas nécessairement égaux. Pour la réciproque, la condition est l'égalité des rapports (et l'alignement des points) pour conclure au parallélisme.

D'après le théorème de Thales avec (MN) // (BC), on a AM/AB = MN/BC. On connaît AM=6, AB=15, MN=4. Donc 6/15 = 4/BC. Simplifions 6/15 = 2/5. Ainsi, 2/5 = 4/BC. Produit en croix: 2 × BC = 5 × 4, donc 2BC = 20, et BC = 20/2 = 10 cm. Conseil: simplifiez les fractions quand c'est possible pour faciliter les calculs.