Theoreme de Thales - proportionnalite dans les triangles — Entraînement Brevet 2026

Le theoreme de Thales affirme que lorsque deux droites paralleles coupent deux droites secantes, elles determinent des segments proportionnels. Concretement, si (d) // (d'), alors on a AM/AB = AN/AC = MN/BC. C'est cette propriete de proportionnalite qui permet de calculer des longueurs inconnues. Pour retenir: pensez a 'paralleles = proportions egales'.

D'apres le theoreme de Thales avec (MN) // (BC), on a AM/AB = AN/AC. On connait AM=3, AB=9 et AN=2. Donc 3/9 = 2/AC, soit 1/3 = 2/AC. En faisant le produit en croix: 1 × AC = 3 × 2, donc AC = 6 cm. Verifiez toujours que les points sont bien alignes dans le bon ordre (A, M, B et A, N, C).

Le theoreme de Thales s'applique dans la configuration dite 'en papillon' ou 'en sablier': deux droites (secantes en un point A) sont coupees par deux droites paralleles. Cela cree deux triangles emboites (AMN et ABC par exemple). La condition essentielle est le parallelisme. Une astuce: dessinez toujours la configuration pour identifier les points alignes et les paralleles.

Pour utiliser la reciproque du theoreme de Thales, on verifie si les points sont alignes dans le bon ordre (A, M, B et A, N, C) et si les rapports AM/AB et AN/AC sont egaux. Ici, AB = AM+MB = 4+2 = 6 cm, donc AM/AB = 4/6 = 2/3. AC = AN+NC = 5+2.5 = 7.5 cm, donc AN/AC = 5/7.5 = 2/3. Les rapports sont egaux, donc (MN) // (BC). Attention: la reciproque exige que les points soient dans le meme ordre.

Avec (UV) // (ST), le theoreme de Thales donne: RU/RS = RV/RT. On a RU=5, RS=8, RT=12. Donc 5/8 = RV/12. Par produit en croix: 8 × RV = 5 × 12, donc 8RV = 60, et RV = 60/8 = 7.5 cm. Pensez a bien ecrire les rapports avec les points dans le meme ordre: ici, partant du sommet R vers S et T.

La reciproque du theoreme de Thales est un outil pour demontrer que deux droites sont paralleles. Si, dans une configuration ou les points sont alignes dans le bon ordre (par exemple A, M, B et A, N, C), on a l'egalite AM/AB = AN/AC, alors on peut conclure que (MN) // (BC). C'est l'inverse du theoreme direct qui, lui, part du parallelisme pour etablir des egalites de rapports. Retenez: 'egalite de rapports + points alignes dans le bon ordre => paralleles'.

C'est le theoreme de la droite des milieux. Si I est milieu de [AB] et J milieu de [AC], alors (IJ) // (BC) et IJ = BC/2. On peut le demontrer avec Thales: comme AI/AB = AJ/AC = 1/2, la reciproque de Thales donne (IJ) // (BC). Puis, le theoreme direct donne IJ/BC = AI/AB = 1/2, donc IJ = BC/2. C'est un resultat tres utile en geometrie.

Avec (DE) // (BC), on a AD/AB = DE/BC. Il faut d'abord calculer AB = AD + DB = 2 + 3 = 5 cm. Donc AD/AB = 2/5. On a donc 2/5 = DE/10. Par produit en croix: 5 × DE = 2 × 10, donc 5DE = 20, et DE = 20/5 = 4 cm. Une erreur frequente est d'utiliser AD/DB au lieu de AD/AB. Verifiez toujours que le denominateur correspond au cote entier du grand triangle.

La condition fondamentale pour appliquer le theoreme de Thales (dans sa version directe) est l'existence de deux droites paralleles coupant deux droites secantes. C'est cette hypothese de parallelisme qui permet de deduire l'egalite des rapports de longueurs. Sans cela, les rapports ne sont pas necessairement egaux. Pour la reciproque, la condition est l'egalite des rapports (et l'alignement des points) pour conclure au parallelisme.

D'apres le theoreme de Thales avec (MN) // (BC), on a AM/AB = MN/BC. On connait AM=6, AB=15, MN=4. Donc 6/15 = 4/BC. Simplifions 6/15 = 2/5. Ainsi, 2/5 = 4/BC. Produit en croix: 2 × BC = 5 × 4, donc 2BC = 20, et BC = 20/2 = 10 cm. Conseil: simplifiez les fractions quand c'est possible pour faciliter les calculs.