Fonctions lineaires et affines - lecture graphique et calcul — Entraînement Brevet 2026

Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction affine, on remplace x par ce nombre dans l'expression. Ici, f(4) = -3 × 4 + 2 = -12 + 2 = -10. Attention aux signes : -3 × 4 donne -12, puis on ajoute 2. Une erreur frequente est d'oublier le signe negatif devant le 3. Pour verifier, on peut faire le calcul etape par etape.

Le coefficient directeur d'une droite se calcule avec la formule a = (yB - yA)/(xB - xA) pour deux points A et B de la droite. Ici, avec A(0,1) et B(2,5), on a a = (5-1)/(2-0) = 4/2 = 2. Ce coefficient directeur represente la pente de la droite : quand x augmente de 1, f(x) augmente de 2. Pour ne pas se tromper, toujours mettre la variation des y au numerateur et celle des x au denominateur.

Une fonction affine s'ecrit f(x) = ax + b, ou a est le coefficient directeur et b l'ordonnee a l'origine. Une fonction lineaire est un cas particulier ou b = 0, donc elle s'ecrit f(x) = ax. Graphiquement, cela signifie que la droite passe par l'origine du repere (point de coordonnees (0,0)). Toutes les fonctions lineaires sont affines, mais l'inverse n'est pas vrai.

Pour trouver ou une droite coupe l'axe des ordonnees, on cherche le point d'abscisse x=0. En effet, sur l'axe des ordonnees, tous les points ont pour abscisse 0. Ici, avec f(x)=2x-3, on calcule f(0)=2×0-3=-3. Le point d'intersection est donc (0,-3). L'ordonnee a l'origine (b dans f(x)=ax+b) donne directement cette valeur : ici b=-3. Attention a ne pas confondre avec l'intersection avec l'axe des abscisses, qui correspond a y=0.

Pour trouver l'expression d'une fonction affine f(x)=ax+b a partir de deux points, on calcule d'abord le coefficient directeur : a=(f(4)-f(2))/(4-2)=(11-5)/2=6/2=3. Ensuite, on utilise un des points pour trouver b. Avec f(2)=5, on a 3×2+b=5, donc 6+b=5, soit b=5-6=-1. L'expression est donc f(x)=3x-1. On peut verifier avec le deuxieme point : 3×4-1=12-1=11, c'est correct.

D'abord, on trouve la fonction. Le coefficient directeur est a=(7-3)/(3-1)=4/2=2. Avec f(1)=3, on a 2×1+b=3 donc b=1. La fonction est f(x)=2x+1. Pour trouver l'antecedent de 11, on resout 2x+1=11. Cela donne 2x=11-1=10, donc x=10/2=5. L'antecedent de 11 est donc 5. On peut verifier : f(5)=2×5+1=10+1=11.

Une fonction lineaire s'ecrit f(x)=ax et sa representation graphique est une droite passant toujours par l'origine du repere (0,0). Le coefficient directeur a indique la pente : si a>0, la droite est croissante (elle 'monte' quand on la suit de gauche a droite) ; si a<0, la droite est decroissante (elle 'descend'). Ici a=-2<0, donc la droite passe par l'origine et est descendante. Pour s'en souvenir : positif = pente positive = montante.

Pour verifier si trois points sont alignes, on peut chercher si le troisieme point appartient a la droite definie par les deux premiers. Ici, avec A(-1;2) et B(0;4), le coefficient directeur est a=(4-2)/(0-(-1))=2/1=2. L'ordonnee a l'origine est b=4 (car B(0;4) donne f(0)=4). La droite (AB) a pour equation y=2x+4. Verifions pour C(2;8) : 2×2+4=4+4=8, donc C appartient bien a la droite. Les trois points sont donc alignes. Une autre methode est de verifier que les vecteurs AB et AC sont colineaires.

Avec f(1)=4, on a l'equation a+b=4. Avec f(3)=0, on a 3a+b=0. On soustrait la premiere equation a la seconde : (3a+b)-(a+b)=0-4, ce qui donne 2a=-4, donc a=-2. En remplacant a par -2 dans a+b=4, on obtient -2+b=4, donc b=4+2=6. L'ordonnee a l'origine b vaut donc 6. On peut verifier : f(x)=-2x+6, alors f(1)=-2+6=4 et f(3)=-6+6=0.

Pour trouver ou une droite coupe l'axe des abscisses, on cherche le point d'ordonnee y=0. En effet, sur l'axe des abscisses, tous les points ont pour ordonnee 0. On resout donc l'equation f(x)=0, soit -0,5x+3=0. Cela donne -0,5x=-3, donc x=(-3)/(-0,5)=6. Le point d'intersection est (6,0). Attention a bien manipuler les nombres decimaux : diviser par -0,5 equivaut a multiplier par -2. On peut verifier : f(6)=-0,5×6+3=-3+3=0.