Fonctions linéaires et affines - lecture graphique et calcul — Entraînement Brevet 2026

Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction affine, on remplace x par ce nombre dans l'expression. Ici, f(4) = -3 × 4 + 2 = -12 + 2 = -10. Attention aux signes : -3 × 4 donne -12, puis on ajoute 2. Une erreur frequente est d'oublier le signe négatif devant le 3. Pour vérifier, on peut faire le calcul étape par étape.

Le coefficient directeur d'une droite se calcule avec la formule a = (yB - yA)/(xB - xA) pour deux points A et B de la droite. Ici, avec A(0,1) et B(2,5), on a a = (5-1)/(2-0) = 4/2 = 2. Ce coefficient directeur represente la pente de la droite : quand x augmente de 1, f(x) augmente de 2. Pour ne pas se tromper, toujours mettre la variation des y au numérateur et celle des x au dénominateur.

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b, ou a est le coefficient directeur et b l'ordonnée a l'origine. Une fonction linéaire est un cas particulier ou b = 0, donc elle s'écrit f(x) = ax. Graphiquement, cela signifie que la droite passe par l'origine du repère (point de coordonnées (0,0)). Toutes les fonctions linéaires sont affines, mais l'inverse n'est pas vrai.

Pour trouver ou une droite coupe l'axe des ordonnées, on cherche le point d'abscisse x=0. En effet, sur l'axe des ordonnées, tous les points ont pour abscisse 0. Ici, avec f(x)=2x-3, on calcule f(0)=2×0-3=-3. Le point d'intersection est donc (0,-3). L'ordonnée a l'origine (b dans f(x)=ax+b) donne directement cette valeur : ici b=-3. Attention a ne pas confondre avec l'intersection avec l'axe des abscisses, qui correspond a y=0.

Pour trouver l'expression d'une fonction affine f(x)=ax+b a partir de deux points, on calcule d'abord le coefficient directeur : a=(f(4)-f(2))/(4-2)=(11-5)/2=6/2=3. Ensuite, on utilise un des points pour trouver b. Avec f(2)=5, on a 3×2+b=5, donc 6+b=5, soit b=5-6=-1. L'expression est donc f(x)=3x-1. On peut vérifier avec le deuxième point : 3×4-1=12-1=11, c'est correct.

D'abord, on trouve la fonction. Le coefficient directeur est a=(7-3)/(3-1)=4/2=2. Avec f(1)=3, on a 2×1+b=3 donc b=1. La fonction est f(x)=2x+1. Pour trouver l'antécédent de 11, on résout 2x+1=11. Cela donne 2x=11-1=10, donc x=10/2=5. L'antécédent de 11 est donc 5. On peut vérifier : f(5)=2×5+1=10+1=11.

Une fonction linéaire s'écrit f(x)=ax et sa représentation graphique est une droite passant toujours par l'origine du repère (0,0). Le coefficient directeur a indique la pente : si a>0, la droite est croissante (elle 'monte' quand on la suit de gauche a droite) ; si a<0, la droite est décroissante (elle 'descend'). Ici a=-2<0, donc la droite passe par l'origine et est descendante. Pour s'en souvenir : positif = pente positive = montante.

Pour vérifier si trois points sont alignes, on peut chercher si le troisième point appartient a la droite définie par les deux premiers. Ici, avec A(-1;2) et B(0;4), le coefficient directeur est a=(4-2)/(0-(-1))=2/1=2. L'ordonnée a l'origine est b=4 (car B(0;4) donne f(0)=4). La droite (AB) a pour équation y=2x+4. Vérifions pour C(2;8) : 2×2+4=4+4=8, donc C appartient bien a la droite. Les trois points sont donc alignes. Une autre méthode est de vérifier que les vecteurs AB et AC sont colineaires.

Avec f(1)=4, on a l'équation a+b=4. Avec f(3)=0, on a 3a+b=0. On soustrait la première équation a la seconde : (3a+b)-(a+b)=0-4, ce qui donne 2a=-4, donc a=-2. En remplaçant a par -2 dans a+b=4, on obtient -2+b=4, donc b=4+2=6. L'ordonnée a l'origine b vaut donc 6. On peut vérifier : f(x)=-2x+6, alors f(1)=-2+6=4 et f(3)=-6+6=0.

Pour trouver ou une droite coupe l'axe des abscisses, on cherche le point d'ordonnée y=0. En effet, sur l'axe des abscisses, tous les points ont pour ordonnée 0. On résout donc l'équation f(x)=0, soit -0,5x+3=0. Cela donne -0,5x=-3, donc x=(-3)/(-0,5)=6. Le point d'intersection est (6,0). Attention a bien manipuler les nombres decimaux : diviser par -0,5 équivaut a multiplier par -2. On peut vérifier : f(6)=-0,5×6+3=-3+3=0.