Calcul littéral et fractions — Entraînement Brevet 2026

Pour développer, on distribue d'abord le 3 : 3 × 2x = 6x et 3 × (-5) = -15, donc 3(2x - 5) = 6x - 15. Ensuite, il faut soustraire (x + 4), ce qui donne 6x - 15 - x - 4 (attention au signe moins devant la parenthèse qui change tous les signes a l'intérieur). On réduit ensuite : 6x - x = 5x et -15 - 4 = -19. Le résultat final est donc 5x - 19. Un conseil : après avoir developpe, encadre les termes en x et les constantes pour bien les regrouper.

L'expression 4x² - 9 est une différence de deux carres. On peut l'écrire (2x)² - 3². En effet, 4x² est le carre de 2x, et 9 est le carre de 3. On applique alors l'identité remarquable a² - b² = (a - b)(a + b), avec a = 2x et b = 3. Cela donne (2x - 3)(2x + 3). Pour vérifier, on peut développer ce produit : (2x × 2x) + (2x × 3) + (-3 × 2x) + (-3 × 3) = 4x² + 6x - 6x - 9 = 4x² - 9. Retiens bien les trois identités remarquables, elles sont très utiles.

L'expression A est une différence de deux carres : a² - b² avec a = (3x - 1) et b = (2x + 3). On applique donc la formule de factorisation : a² - b² = (a - b)(a + b). Cela donne A = [(3x - 1) - (2x + 3)] × [(3x - 1) + (2x + 3)]. On simplifie chaque facteur : (3x - 1 - 2x - 3) = (x - 4) et (3x - 1 + 2x + 3) = (5x + 2). Donc A = (x - 4)(5x + 2). On peut vérifier en développant cette forme factorisee pour retrouver la forme développée initiale. Cette méthode est plus rapide que de tout développer d'abord.

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur. Le dénominateur commun de 3, 6 et 2 est 6. On réécrit chaque fraction avec le dénominateur 6 : (2/3) = (2×2)/(3×2) = 4/6, (5/6) reste 5/6, et (1/2) = (1×3)/(2×3) = 3/6. L'opération devient donc : (4/6) + (5/6) - (3/6). On calcule le numérateur : 4 + 5 - 3 = 6. Le résultat est 6/6, qui se simplifie en 1. Un bon réflexe est de toujours simplifier la fraction résultat si possible.

Le dénominateur commun de 4 et 6 est 12. On réécrit chaque fraction : (x+3)/4 = (3x+9)/12 et (2x-5)/6 = (4x-10)/12. On soustrait en faisant attention au signe moins devant la seconde fraction : (3x+9) - (4x-10) = 3x+9-4x+10 = -x+19. Donc E = (-x+19)/12.

Pour calculer la valeur d'une expression littérale, on remplace la variable par la valeur donnée. Ici, on remplace x par -2 dans 2x² - 3x + 1. On calcule d'abord x² : (-2)² = 4. Ensuite, 2x² = 2 × 4 = 8. Puis, -3x = -3 × (-2) = +6 (car le produit de deux nombres négatifs est positif). Enfin, on ajoute le 1. Le calcul est donc : 8 + 6 + 1 = 15. Il est crucial de respecter l'ordre des opérations : d'abord les puissances, puis les multiplications/divisions, enfin les additions/soustractions. Attention aussi aux signes lorsqu'on remplace x par un nombre négatif.

Pour résoudre l'équation 5x - 3 = 2x + 9, on commence par rassembler les termes contenant x du même cote. On soustrait 2x de chaque cote : 5x - 2x - 3 = 2x - 2x + 9, ce qui donne 3x - 3 = 9. Ensuite, on isole le terme en x en ajoutant 3 de chaque cote : 3x - 3 + 3 = 9 + 3, donc 3x = 12. Finalement, on divise chaque membre par 3 : x = 12 / 3 = 4. Pour vérifier, on remplace x par 4 dans l'équation initiale : 5×4 - 3 = 20-3=17 et 2×4+9=8+9=17. Les deux membres sont égaux, donc la solution est correcte.

Pour multiplier des fractions, il est astucieux de simplifier avant d'effectuer le produit. On a (7/5) × (15/21). On peut simplifier le 7 du numérateur de la première fraction avec le 21 du dénominateur de la seconde (car 21 = 3×7, donc 7/21 = 1/3). De même, le 15 du numérateur de la seconde fraction et le 5 du dénominateur de la première se simplifient (car 15/5 = 3). Ainsi, (7/5) × (15/21) = (1/1) × (3/3) = 1 × 1 = 1. On peut aussi multiplier directement : (7×15)/(5×21) = 105/105 = 1. Mais la méthode par simplification est plus rapide et evite les grands nombres.

Pour résoudre l'inequation -3x + 7 ≤ 1, on isole le terme en x. D'abord, on soustrait 7 de chaque cote : -3x + 7 - 7 ≤ 1 - 7, ce qui donne -3x ≤ -6. Ensuite, on divise chaque membre par -3 pour obtenir x. Mais attention, diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Donc : x ≥ (-6)/(-3), soit x ≥ 2. L'ensemble des solutions est donc tous les nombres supérieurs ou égaux a 2. Pour vérifier, on peut tester une valeur supérieure a 2, comme 3 : -3×3 + 7 = -9+7 = -2, qui est bien ≤ 1. Cette règle sur l'inversion du sens est fondamentale pour les inequations.

L'expression F est une fraction dont le numérateur est lui-même une somme : (1/x + 2). On met ce numérateur sur le même dénominateur x : 1/x + 2 = (1 + 2x)/x. Ainsi F = [(1+2x)/x] / 3 = (1+2x)/(3x) : c'est l'option b. Attention à l'erreur fréquente qui consiste à oublier de diviser le 2 par 3.